Над вектором можна виконати такі операції:

1. Додавання (віднімання) двох векторів.

Сумою двох векторів та називається вектор (a₁+a_2, b₁+b₂).
Геометрично вектори можна додавати за правилами трикутника або паралелограма.
Різницею двох векторів та називається вектор =(a₁-b₁, a₂-b₁).

Добутком вектора на число називається вектор
().
Геометрично це означає збільшення вектора у разів.

3. Множення векторів.

Скалярним добутком двох векторів та називається число .

Скалярний добуток двох векторів можна обчислити за іншою формулою: , де: – кут між цими векторами.
З цієї формули можна отримати формулу для обчислення косинуса кута між векторами:

.
Коли вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю, і навпаки.

Матеріал з сайту: http://fizma.net

Перетворенням фігури F на фігуру F₁ називається така відповідність, при якій:
а) кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F₁;
б) кожній точці фігури F₁ відповідає деяка точка F;
в) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F₁.
При цьому фігуру F₁ називають образом фігури F для даного перетворення.

Переміщення
Перетворення однієї фігури на іншу називають переміщенням або рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки А і В пер­шої фігури у точки А₁ і В₁ другої фігури так, що АВ = А₁В₁.
Два переміщення, виконані послідовно, дають знову пере­міщення. Якщо фігура F переводиться переміщенням у фігуру F₁, а фігура F₁ переводиться переміщенням у фігуру F₂, то перетворення фігури F на фігуру F₂ також є переміщенням.
Якщо перетворення переводить фігуру F у фігуру F₁, то існує перетворення, яке переводить фігуру F₁ у фігуру F, яке назива­ється оберненим до даного. Перетворення, обернене до перемі­щення, також є переміщенням.

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться переміщенням одна в одну.

Теорема: При переміщенні точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які лежать на прямій, і порядок їх взаємного розміщення зберігається.

Властивості переміщення:
а) прямі переходять у прямі;
б) промені — у промені;
в) відрізок — у відрізок;
г) зберігаються кути між променями;
д) півплощина переходить у півплощину.

Симетрія відносно точки
Точки X і X₁ називаються симетричними відносно точки О, якщо точка О є серединою відрізка ХХ₁.
Точка О називається центром симетрії. Перетворення фігу­ри F на фігуру F₁, при якому кожна точка X фігури F перехо­дить у точку Х₁ фігури F₁, симетричну точці X відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О.

Властивості симетрії відносно точки (центральної симетрії):
1) Перетворення симетрії відносно точки є переміщенням.
2) Перетворення симетрії відносно точки перетворює пряму на па­ралельну їй пряму або на себе; відрізок — на рівний і паралель­ний йому відрізок; многокутник — на рівний йому многокутник.
3) Будь-яка пряма, що проходить через центр симетрії, відобра­жається при цій симетрії на себе.
Якщо перетворення симетрії від­носно точки О переводить фігуру F у себе, то вона називаєть­ся центрально-симетричною, а точ­ка О — центром симетрії.

Симетрія відносно прямої
Точки X і X₁ називаються симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром до відрізка ХХ₁, тобто якщо ОХ = ОХ₁ і l перпендикулярна XX₁.

Перетворення фігури F на фігуру F₁, при якому кожна точ­ка X фігури F переходить у точку Х₁ фігури F₁, симетричну їй відносно даної прямої l, називається перетворенням симетрії відносно прямої l або осьовою симетрією. При цьо­му фігури F і F₁ називаються симетричними відносно прямої l, а пряма l — віссю симетрії.

Властивості симетрії відносно прямої (осьової симетрії):
1)    Перетворення осьової симетрії є переміщенням.
2)    Осьова симетрія перетворює пряму на пряму; відрізок — на відрізок; многокутник — на рівний йому многокутник.
3)    Точки, що належать осі симетрії, відображаються самі на себе.
Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру F у себе, то ця фігура називається симетричною відносно прямої l, а пряма l — називається віссю симетрії.

Поворот
Поворотом фігури F навколо точки О на кут а називається таке перетворення, при якому будь-яка точка X фігури F переходить у точку Х₁ фігури F₁ таку, що ОХ = ОХ₁ і XOX₁= α.  Поворот може здійснюватися за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки. Поворот фігури задається кутом повороту і центром повороту.

Властивості повороту:
1)    Перетворення повороту є переміщенням.
2)   Центральна симетрія є поворотом на 180°.
3)   При повороті пряма переходить у пряму; кут — у рівний кут; відрізок — у рівний відрізок; будь-яка фігура переходить у рівну їй фігуру.
4)  Правильний трикутник під час повороту навколо центра три­кутника на 120° переходить у себе. Квадрат при повороті навколо центра квадрата на 90° (180°, 270°) переходить у себе. Правильний шестикутник при повороті навколо свого цен­тра на 60° (120°, 180°, 240°, 270°) переходить у себе. Пра­вильний многокутник при повороті навколо свого центра на кут  переходить у себе.

Паралельне перенесення

Паралельне перенесення — пере­творення, при якому точки зміщуються в тому самому напрямі на ту саму від­стань.
Іншими словами, паралельним пере­несенням фігури F в напрямі променя ОА на відстань а називається перетворен­ня F на фігуру F₁, унаслідок якого кожна точка X фігури F переходить у точку X₁ фігури F₁ у напрямі променя ОА на від­стань а.
Введемо на площині декартові коор­динати х і у. Перетворення фігури F, при якому довільна точка (х; у) переходить у точку (x + a; y + b), де а, b — ті самі числа для всіх точок (х; у), називається паралельним перенесенням.
Паралельне перенесення задається формулами:

Ці формули виражають координати х₁, у₁ точки фігури F₁, у яку переходить точка (х; у) фігури F при паралельному перенесенні.

Властивості паралельного перенесення:
1)    Паралельне перенесення є рухом.
2)    При паралельному перенесенні точки переміщуються вздовж паралельних прямих (або однієї прямої) на ту саму відстань.
3)    Пряма переходить у паралельну пряму (або в себе); промінь переходить у співнапрямлений промінь. Два промені назива­ються співнапрямленими, якщо дані промені паралельні й ле­жать по один бік від прямої, що проходить через їх початки, або промені лежать на одній прямій і один із них є частиною другого.   
4)    Які б не були точки А і А₁ існує єдине паралельне перене­сення, при якому точка А переходить у точку А.

Перетворення подібності
Перетворення фігури F на фігуру F₁ називається перетво­ренням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в ту саму кількість разів . Або іншими словами: якщо довільні точки X і Y фігури F при пере­творенні подібності переходять у точки Х₁ і Y₁ фігури F₁, то Х₁Y₁ = k · XY, де k — те саме число для будь-яких точок X і Y. Число k називається коефіцієнтом подібності. Якщо k = 1, то перетворення подібності є переміщенням.

Властивості перетворення подібності:
1)    Перетворення подібності переводять прямі у прямі; проме­ні — у промені; відрізки — у відрізки.
2)    Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності k = 1.
3)    Перетворення подібності зберігає кути між променями.

Гомотетія
Нехай F — дана фігура і О — фіксована точка. Че­рез довільну точку X фігури F проведемо промінь ОХ і відкладе­мо на ньому відрізок ОХ₁, який дорівнює k · ОХ, де k — додатне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X пере­ходить у точку Х₁ і ОХ₁ = k · OX, називається гомотетією відносно точки О; число k — коефіцієнтом гомотетії; фігури F і F₁ — гомотетичними.

Властивості гомотетії:
1)  Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням подібності з кое­фіцієнтом k.
2)  При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе; відрізок — у паралельний йому відрізок; кут — у рівний йому кут.

Подібність фігур
Фігури F і F₁ називаються подібними, якщо кожній точці фігури F можна поставити у відповідність точку фігури F₁ так, що для довільних точок X і Y фігури F і відповідних точок X₁ і Y₁ фігури F₁ виконується умова XY/X₁Y₁=k, де k — те саме додатне число для всіх точок. При цьому передбачається, що кожна точка фігури F₁ має бути поставлена у відповідність якій-небудь точці фігури F. Число k називається коефіцієнтом подібності.
Іншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подіб­ність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціаль­ним знаком: . Запис F  F₁ читається як «фігура F подібна фігурі F₁».
З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — по­дібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).

Властивості подібних фігур:
1)    Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1).
2)    Якщо фігура F подібна фігурі F₁ з коефіцієнтом подібності k, то фігура F₁ подібна фігурі F з коефіцієнтом 1/k.
3)    Якщо фігура F₁ подібна фігурі F₂ з коефіцієнтом подібно­сті k₁, а фігура F₂ подібна фігурі F₃ з коефіцієнтом подіб­ності k₂, то фігура F₁ подібна фігурі F₃ з коефіцієнтом по­дібності k₁· k₂.
4)    Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіці­єнта подібності.

Площі подібних многокутників відносяться як квадра­ти їхніх відповідних лінійних розмірів.

Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості просторо­вих фігур, називається стереометрією. Основними фігурами простору є точка, пряма і площина.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі

Із планіметрії відомо, що дві прямі, що лежать у площині, можуть перетинатися або не мати спільних точок. Якщо дві пря­мі лежать в одній площині й не мають спільних точок, то вони називаються паралельними. У просторі дві різні прямі або пере­тинаються, або не перетинаються. Проте другий випадок допу­скає дві можливості: прямі лежать в одній площині або прямі не лежать в одній площині.

Прямі, які не перетинаються і лежать в одній площині, на­зиваються паралельними.
Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

Взаємне розміщення двох площин

Дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок.
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не пере­тинаються.

Взаємне розміщення прямої і площини

Площина α не має спільних точок із прямою а. Пряма і пло­щина, які не мають спільних точок, називаються паралельни­ми, позначаються а || α.
Площина α має з прямою а тільки одну спільну точку. У цьо­му випадку говорять, що пряма а і площина α пе­ретинаються.
Пряма а лежить у площині α

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині і проходить через точку перетину.

Теорема: Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які перетинають­ся і лежать у площині, то дана пряма перпендикулярна до площини.

Перпендикуляром до площини називається відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою прямої і точкою перетину її з площиною.