Функцією називають залежність або відповідність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х із деякої множини відповідає значення змінної у із другої множини і лише одне.

Змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну у – залежною змінною, або функцією.

Областю визначення функції називається множина всіх значень, які може набувати незалежна змінна х. Область визначення позначають великою латинською літерою D.

Областю значень функції називається множина всіх значень, які може набувати залежна змінна у, якщо х належить області визначення. Область значень позначають великою латинською літерою Е.

Функцію можна задавати:

• аналітично (коли функція задається формулами);

• табличним способом – при цьому в таблиці надаються значення змінної х і відповідні їм значення у;

• описовим способом – коли функція задається словесним описом;

• графічно – коли функція задається її графіком.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Графіком функції називається множина точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу функції, а ординати – відповідним значенням функції.

Щоб побудувати графік функції, треба скласти таблицю декількох значень її аргументу і знайти відповідні їм значення функції. Точки з одержаними координатами наносять на координатну площину і з’єднують їх лінією.

За допомогою графіка функції можна знаходити значення функції в інших точках координатної площини. Для цього треба знайти на осі хпотрібне значення аргументу, відповідну йому точку графіка, і з’ясувати, яку ординату має ця точка графіка.

Якщо графік перетинає вісь абсцис, то можна зробити висновок, що функція набуває значення нуль при х, що дорівнює абсцисам точок перетину з віссю.

За графіком можна з’ясувати, при яких значеннях х функція набуває додатних значень (для яких значень х графік функції лежить вище осі абсцис), і при яких від’ємних значень (для яких значень х графік функції лежить під віссю абсцис).

За графіком можна з’сувати чи функція зростаюча, чи спадна.

Функція називається зростаючою, якщо більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.

Функція називається спадною, якщо більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою виду у = kх + b, де х – незалежна змінна, k і b – деякі числа.

Графіком лінійної функції є пряма, тому для побудови графіка досить побудувати таблицю для двох значень аргументу і функції.

Якщо числа k і b не дорівнюють нулю, то пряма перетинає вісь абсцис і вісь ординат.

Якщо k ≠ 0, аb = 0, то пряма проходить через початок координат.

Якщо k = 0, аb ≠ 0, то пряма проходить паралельно осі абсцис і перетинає вісь ординат у точці b.

Область визначення лінійної функції – вся числова пряма.

Область значень лінійної функції – вся числова пряма.

При k, більшому за нуль, функція є зростаючою.

При k, меншому від нуля, функція є спадною.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Рівняння виду ах + bу = с, де а, b і с — деякі числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними х і у. Якщо коефіцієнти при змінних х і у не дорівнюють нуль, то таке рівняння називають рівнянням першого степеня з двома змінними.

Розв’язком рівняння з двома змінними називається пара чисел х і у, при яких рівняння перетворюється в правильну рівність. Розв’язок записують у дужках парою чисел. На першому місці пишуть значення х, на другому – значення у.

Кожне рівняння першого степеня з двома змінними має безліч розв’язків.

Щоб розв’язати рівняння з двома змінними, обирають довільне значення однієї змінної, підставляють його замість цієї змінної у рівняння і розв’язують одержане рівняння відносно другої змінної.

Рівносильними називаються рівняння, що мають одні й ті ж рішення або їх не мають.

Графіком кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма.

Якщо а, b і с не дорівнюють нулю, то пряма проходить під кутом до координатних осей і перетинає їх у двох точках.

Якщо права частина лінійного рівняння з двома змінними дорівнює нулю, то пряма проходить через початок координат під кутом до координатних осей.

Якщо коефіцієнт при змінній х = 0, а інші не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі х.

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі у.

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю абсцис.

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при х, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю ординат.

Якщо всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то графіком будуть усі точки координатної прямої.

Якщо всі коефіцієнти, окрім вільного члена, дорівнюють нулю, то не одержимо жодної точки.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Важливу роль у математиці й інших науках відіграють системи рівнянь першого степеня (лінійних рівнянь).

Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називається пара значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи в правильну числову рівність.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти спільні рішення рівнянь.

Рівносильними називаються системи рівнянь з двома змінними, які мають одні й ті ж розв’язки. Системи, які не мають розв’язків, також вважаються рівносильними.

Зверніть увагу!
Система двох рівнянь з двома змінними або не має розв’язків, або має один розв’язок, або має безліч розв’язків.
Якщо до системи входять рівняння, які мають однакові ліві частини, але різні праві частини, така система розв’язків не має.
Якщо до системи входять рівняння, які можна привести рівносильними перетвореннями одне до одного, то така система рівнянь має безліч розв’язків.

Для розв’язання систем рівнянь існують графічний спосіб,  метод підстановки, метод додавання.

Графічний спосіб розв’язування системи рівнянь з двома змінними має таку схему:
Будують графік кожного рівняння, що входить до системи. Знаходять координати точок перетину графіків (якщо вони є). Відповідь записують у вигляді координат знайдених точок.

Зверніть увагу! Графічний спосіб нерідко дає наближені значення. Тому краще перевіряти їх підстановкою.

Спосіб підстановки має таку схему:
Представляють одну змінну через другу в одному рівнянні. Цей вираз і називають підстановкою. Одержаний вираз підставляють замість цієї змінної в друге рівняння.
Розв’язують одержане рівняння з однією змінною. Знаходять відповідне значення другої змінної, використовуючи підстановку. Записують відповідь парою чисел.

Спосіб додавання має таку схему:
Множать обидві частини кожного рівняння на таке число, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами. Додають почленно одержані рівносильні даним рівняння. Розв’язують одержане рівняння з однією змінною. Знаходять відповідне значення другої змінної, підставляючи вже відому в будь-яке з даних рівнянь. Записують відповідь парою чисел.
Звертайте увагу на порядок запису: на першому місці – х, на другому – у.

Цікаво знати.
Систему лінійних рівнянь, яка має єдиний розв’язок, називають означеною, а якщо більше одного, то неозначеною.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua