Описане та вписане в трикутник коло
Коло називається описаним навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на колі. Кажуть, що коло є описаним навколо трикутника.
Навколо будь-якого трикутника можна описати коло і лише одне. Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину перпендикулярів, проведених через середини сторін трикутника, тобто точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
Зверніть увагу! Щоб знайти центр описаного кола, достатньо провести серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника.
Щоб описати навколо трикутника коло, треба знайти центр кола і радіусом, що дорівнює відстані від центра кола до будь-якої вершини трикутника, побудувати коло.
Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло і лише одне.
Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина його гіпотенузи, а радіус дорівнює її половині.
Якщо одна із сторін уписаного в коло трикутника дорівнює його діаметру, то цей трикутник прямокутний.
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін трикутника. Сторони трикутника є дотичними до вписаного в нього кола.
У будь-який трикутник можна вписати коло і лише одне. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину бісектрис трикутника.
Зверніть увагу! Щоб знайти центр уписаного кола, достатньо провести бісектриси двох кутів трикутника, оскільки всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
Щоб вписати коло в трикутник, треба знайти центр кола й опустити з нього перпендикуляр на будь-яку сторону трикутника. Радіусом, що дорівнює довжині перпендикуляра, побудувати коло.
Діаметр кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює різниці суми катетів і гіпотенузи.
У рівностороннього трикутника центри вписаного й описаного кіл збігаються.
У рівнобедреного трикутника центри вписаного й описаного кіл лежать на медіані, проведеній до основи трикутника.
Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua
Геометричне місце точок
Геометричне місце точок (ГМТ) — це фігура, що складається з усіх точок площини, що мають зазначену властивість.
Для знаходження геометричного місця точок, що мають певну властивість, необхідно довести, що:
– якщо точка належить фігурі, то вона має дану властивість;
– якщо точка площини має дану властивість, то вона належить фігурі.
Основними геометричними місцями є:
Коло — це геометричне місце точок, віддалених від заданої точки на задану відстань.
Бісектриса кута — геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута.
Серединний перпендикуляр до відрізка — це геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, є пряма, перпендикулярна до відрізка, що з’єднує ці точки, і проходить через його середину.
Геометричним місцем точок, віддалених від заданої прямої на задану відстань, є дві прямі, паралельні заданій прямій, які знаходяться на зазначеній відстані від неї.
Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, паралельна заданим прямим, що проходить через середину їхнього спільного перпендикуляра.
Зверніть увагу!
Сутність метода геометричних місць, який використовується при розв’язанні задач на побудову, полягає ось у чому: якщо треба знайти точку, що задовольняє дві умови, то знаходимо геометричне місце точок, які задовольняють одну умову, а після цього геометричне місце точок, що задовольняє другу умову. Шукана точка є точкою перетину цих геометричних місць точок.
Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua
Основні задачі на побудову
План розв’язання задач на побудову такий:
1. Аналіз. Проаналізувати умову задачі, побудувавши ескіз фігури із заданими властивостями, і встановити зв’язок між її елементами. Визначити послідовність елементарних побудов.
2. Побудова. Здійснити визначену послідовність елементарних побудов.
3. Доведення. Довести, що побудована фігура має задані властивості.
4. Дослідження. Дослідити, чи завжди можна виконати побудову, та скільки існує розв’язків задачі.
Зверніть увагу!
Елементарними побудовами є:
– проведення прямої за допомогою лінійки без поділок;
– позначення точки;
– проведення кола за допомогою циркуля;
– знаходження точки перетину прямих або кіл.
Задача на побудову трикутника за трьома сторонами
Послідовність елементарних побудов.
На прямій позначити точку. Це одна вершина трикутника. З центром у цій точці провести коло радіусом, що дорівнює одній зі сторін трикутника. На прямій одержимо точку перетину з колом, що буде другою вершиною трикутника.
З центром у першій вершині провести коло радіусом, що дорівнює другій стороні трикутника; з центром у другій вершині провести коло радіусом, що дорівнює третій стороні трикутника. Точка перетину кіл — третя вершина трикутника. З’єднати відрізками три вершини трикутника.
Задача на побудову кута, що дорівнює даному
На сторонах заданого кута обрати дві довільні точки. Розглянути трикутник, вершинами якого буде вершина заданого кута й одержані точки. Побудувати трикутник, рівний розглянутому трикутникe, і продовжити дві його сторони.
Задача на побудову бісектриси даного кута
Послідовність елементарних побудов.
Провести коло довільного радіуса з центром у вершині заданого кута. Позначити точки перетину кола зі сторонами кута. Тим же радіусом провести кола з центрами в позначених точках. Точка перетину кіл лежить на шуканій бісектрисі кута. Провести через неї промінь із вершини заданого кута.
Задача на побудову прямої, перпендикулярної до даної прямої
Обрати на прямій дві довільні різні точки. Виконати побудову точки, що є серединою одержаного відрізка. Пряма, яку одержали при побудові, перпендикулярна до заданої прямої.
Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua
Рівняння. Лінійні рівняння з однією змінною
Рівнянням називається рівність, яка містить невідоме, позначене буквою.
Невідоме називають змінною.
Вираз, який записано зліва від знака =, становить ліву частину рівняння.
Вираз, який записано правіше від знака =, становить праву частину рівняння.
Кожний доданок, що міститься в лівій або правій частині рівняння, називається членом рівняння.
Коренем рівняння називається значення змінної, при якому рівняння стає правильною числовою рівністю. Корені рівняння також називають його розв’язками.
Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що коренів рівняння не має.
Нагадаємо, як розв’язують найпростіші рівняння.
Щоб знайти невідомий доданок, необхідно від суми відняти відомий доданок.
Щоб знайти невідоме зменшуване, необхідно до різниці додати від’ємник.
Щоб знайти невідомий від’ємник, необхідно від зменшуваного відняти різницю.
Щоб знайти невідомий множник, необхідно добуток поділити на відомий множник.
Щоб знайти невідоме ділене, необхідно частку помножити на дільник.
Щоб знайти невідомий дільник, необхідно ділене поділити на частку.
Рівняння є засобом запису умови задачі, воно містить у своєму складі невідомі величини (одну або декілька), значення яких треба знайти. Рівняння також є засобом подання та вивчення залежності між двома або кількома змінними величинами.
Лінійними рівняннями з однією змінною називаються рівняння виду ах = b, тобто рівняння, в лівій частині яких міститься добуток змінної і деякого числа, яке називається коефіцієнтом при змінній, а в правій частині – число, яке називають вільним членом рівняння.
Якщо коефіцієнт при змінній ≠ нулю, то рівняння має один корінь. Для його знаходження необхідно вільний член поділити на коефіцієнт при змінній.
Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, і вільний член дорівнює нулю, то рівняння має безліч коренів. Коренем такого числа буде будь-яке число.
Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, а вільний член не дорівнює нулю, то рівняння не має коренів. Кажуть, що змінна належить порожній множині.
Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua
Рівносильні рівняння
Рівняння, які мають однакові корені або взагалі не мають коренів, називаються рівносильними рівняннями.
Два рівняння рівносильні, якщо вони мають одні й ті ж корені або їх не мають.
Щоб розв’язувати складніші рівняння, треба замінювати їх рівносильними рівняннями і зводити до найпростіших рівнянь.
Щоб перетворення були рівносильними, треба використовувати основні властивості рівнянь:
– у будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки, якщо вони є.
– будь-який член рівняння можна перенести в іншу частину рівняння, змінивши його знак на протилежний.
– обидві частині рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.
– до обох частин рівняння можна додати (відняти) одне й те саме число.
Щоб розв’язати лінійне рівняння, скористаємось таким планом розв’язку за допомогою рівносильних перетворень:
– якщо у членів рівняння є знаменники, то позбудемось них, помноживши обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник.
– розкриємо всі дужки.
– згрупуємо члени рівняння так, щоб члени зі змінною були в одній частині рівняння, а без змінної – в іншій.
– зведемо подібні доданки в кожній частині рівняння.
– розв’яжемо отримане рівняння вигляду ax = b
Зверніть увагу!
У дробах позбуватись знаменника, який містить змінну, не можна.
Застосування нерівносильних перетворень приводить до втрати розв’язків або до появи сторонніх коренів.
Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua