Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів.

У будь-якого трикутника принаймні два кути гострі. У трикутнику може бути лише один тупий кут або лише один прямий кут.

Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють 60 градусів. Якщо в рівнобедреному трикутнику хоча б один кут дорівнює 60 градусів, то такий трикутник рівносторонній.

Зовнішній кут трикутника при даній вершині — це кут, суміжний із внутрішнім кутом трикутника при даній вершині.
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним. Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.

У будь-якому трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки: проти більшого кута лежить більша сторона.

Відстань між точками — довжина відрізка між точками. Якщо точки збігаються, відстань між ними дорівнює нулю.

Які б не були три точки, відстань між двома з них не більша від суми відстаней від них до третьої точки. У трикутнику будь-яка сторона менша за суму двох інших сторін. Цю властивість називають нерівністю трикутника.

Запам’ятайте!
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. Якщо в трикутнику два кута рвівні, то цей трикутник рівнобедрений.

Поради до розв’язування задач.
Якщо в задачі задано рівнобедрений трикутник і градусну міру кута, що лежить проти основ, то щоб знайти градусні міри двох інших кутів трикутника, треба від 180° відняти задану градусну міру і різницю поділити на два.
Якщо в задачі задано рівнобедрений трикутник і градусну міру кута, прилеглого до основи трикутника, то щоб знайти градусну міру кута, що лежить проти основи, треба задану градусну міру помножити на два і відняти одержаний добуток від 180°.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Фігури, які можна сумістити накладанням одна на одну, називаються рівними.

Якщо кожна з двох фігур рівна третій фігурі, то перші дві фігури рівні.
Для будь-якого трикутника існує рівний йому трикутник у заданому розташуванні щодо заданого променя.
Рівні трикутники мають рівні відповідні кути й рівні відповідні сторони.

Існує три ознаки рівності трикутників, записані як теореми:
Перша ознака. Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника відповідно рівні до двох сторін і кута між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Друга ознака. Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні й прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Третя ознака. Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Щоб довести, що два трикутники рівні, відшукайте в них дві рівні відповідні сторони трикутників і рівні кути між ними, або по одній рівній стороні і рівні два кути, що прилягають до них, або порівняйте три сторони одного і три сторони другого трикутника. Якщо вони рівні, то і трикутники рівні.

Відношення рівності важливе для математики. Воно має такі властивості:
– Кожна фігура рівна сама собі.
– Якщо перша фігура рівна другій фігурі, то друга фігура рівна першій фігурі.
– Якщо перша фігура рівна другій фігурі, а друга фігура рівна третій фігурі, то перша фігура і третя фігура також рівні між собою.

Зверніть увагу!
З того, що трикутники рівні, випливає, що рівні їх периметри і площі. Але з того, що у деяких трикутників рівні периметри або площі, не випливає, що ці трикутники рівні.

Поради до розв’язування задач на трикутники.
Якщо в умові задачі говориться, що задані трикутники рівні, то можна записати шість рівностей: три — про рівність відповідних сторін трикутників і три — про рівність відповідних кутів трикутників. Запишіть тільки ті з них, які пов’язані із заданими або шуканими елементами трикутників. Стежте за тим, щоб відповідні рівні кути у запису рівності трикутників займали однакові позиції.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Прямокутний трикутник — це трикутник, один із кутів якого прямий. Два інші його кути гострі.

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються катетами.

Катети прямокутного трикутника є його висотами.

Ознаки рівності прямокутних трикутників:
1. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі й катету іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
2. Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно рівні катетам іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
3. Якщо катет і протилежний до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катету і протилежному до нього гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Прямокутний трикутник має такі властивості:
Гострі кути прямокутного рівнобедреного трикутника дорівнюють 45 градусам.
Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 градусам.

Зверніть увагу! Щоб знайти величину гострого кута прямокутного трикутника, треба від 90 градусів відняти величину другого гострого кута.

У прямокутному трикутнику проти кута в 30 градусів лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи. Медіана прямокутного трикутника, проведена до його гіпотенузи, дорівнює її половині.

Медіана прямокутного трикутника, проведена до його гіпотенузи, ділить трикутник на два рівнобедрені трикутники.

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, поділяє його на два прямокутні трикутники з такими ж гострими кутами.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Коло — це фігура, що складається з усіх точок площини, рівновіддалених від деякої точки. Дана точка має назву центр кола.

Зверніть увагу! Центр кола не є точкою кола.

Відстань від центра кола до його точок, а також будь-який відрізок, що з’єднує точку кола з його центром, називається радіусом кола.

Хорда — відрізок, що з’єднує дві будь-які точки кола.

Діаметр — хорда, що проходить через центр кола.

Діаметр кола дорівнює двом її радіусам.
Діаметр кола, що перетинає хорду в її середині, є перпендикулярним до неї, і навпаки.
Рівні хорди знаходяться від центра кола на однаковій відстані (рівновіддалені). Рівновіддалені від центра кола хорди є рівними.

Довжина кола дорівнює двом радіусам, помноженим на константу π, що має наближене значення 3,14, або діаметру, помноженому на π.
Довжина кола: С = 2πr або С = πd.

Кола, що мають спільний центр, називаються концентричними колами.
Кола, що мають рівні радіуси, є рівними.

Коло поділяє площину на зовнішню і внутрішню її частини.
Коло разом з внутрішньою його частиною площини називають кругом. Круг має центр, радіус і діаметр ті ж, що й у кола.

Площа круга дорівнює квадрату його радіуса, помноженого на константу π: S = πr².

Це цікаво.
Коло — це одна з найважливіших фігур геометрії, яка відома людству з найдавніших часів. Уже Фалес у 6 столітті до нашої ери знав, що діаметр ділить коло навпіл.
Відношення довжини кола до його діаметра для всіх кіл є величиною сталою і позначається грецькою буквою π. Наближене значення числа π з 32 правильними десятковими знаками знайшов Рудольф Ван Цейлен, тому число π іноді називають Рудольфовим числом.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

На площині коло і пряма можуть перетинатися, тоді вони мають дві спільні точки. У цьому випадку пряма називається січною для кола.
Коло і пряма можуть не перетинатися, тобто не мати спільних точок.
Коло і пряма можуть мати лише одну спільну точку. У цьому випадку говорять, що пряма є дотичною до кола.
Пряма, що має одну спільну точку з колом, називається дотичною до кола. Спільна точка називається точкою дотику.
Радіус кола, проведений у точку дотику, перпендикулярний дотичній.
Два різні кола на площині можуть перетинатися, тоді вони мають дві спільні точки.
Два кола на площині можуть не перетинатись, тоді вони не мають спільних точок.

Два кола на площині можуть мати лише одну спільну точку, тоді говорять, що кола дотикаються. Такі кола мають спільну дотичну, проведену в точку дотику.

Дотик кіл вважають внутрішнім, якщо їхні центри лежать з одного боку від їх спільної дотичної, проведеної в точку дотику кіл.

Дотик кіл вважають зовнішнім, якщо їхні центри лежать з різних боків від спільної дотичної, проведеної в точку дотику.

Кола, які мають спільний центр, називаються концентричними колами. Якщо у концентричних кіл різні радіуси, то такі кола не перетинаються і не можуть дотикатися одне одного.

Поради до розв’язування задач.
1. Якщо з точки поза колом проведені дві дотичні до кола, то відрізок, що з’єднує цю точку з центром кола, поділяє кут між дотичними навпіл.
2. Радіуси кіл, що дотикаються, проведені в точку дотику, лежать на одній прямій — лінії центрів.
3. Якщо кола дотикаються зовнішньо, то відстань між центрами цих кіл дорівнює сумі їх радіусів.
4. Якщо кола дотикаються внутрішньо, то відстань між центрами цих кіл дорівнює різниці їх радіусів.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua