Дискримінантом квадратного рівняння називається вираз, що дорівнює різниці квадрата другого коефіцієнта і добутку першого коефіцієнта та вільного члена, помноженого на чотири. Дискримінант позначається великою латинською буквою D : D = b² – 4ac.

Корені повного квадратного рівняння знаходять за формулою
.

Якщо дискримінант квадратного рівняння додатний, то рівняння має два корені.

Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то рівняння має один корінь, який дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком і поділеному на подвоєний перший коефіцієнт:
.

Якщо дискримінант квадратного рівняння від’ємний, то рівняння не має коренів.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Теорема Вієта
Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Теорема, обернена до теореми Вієта
Якщо деякі два числа такі, що їхня сума дорівнює другому коефіцієнту зведеного квадратного рівняння, узятому з протилежним знаком, а їхній добуток дорівнює його вільному члену, то дані числа є коренями цього зведеного квадратного рівняння.

За допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта, можна підбирати корені зведених квадратних рівнянь. Наприклад, щоб знайти корені рівняння

х² – 6х + 5 = 0, розмірковуємо так:
1) добуток коренів дорівнює вільному члену рівняння, тобто 5, отже, це можуть бути числа 1 і 5;
2) їхня сума дорівнює 6, що є протилежним до другого коефіцієнта заданого квадратного рівняння;
3) тоді числа 1 і 5 є коренями цього рівняння.

Зверніть увагу!
Якщо вільний член додатний, то корені мають однакові знаки. Якщо вільний член від’ємний, то корені мають різні знаки.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Квадратним тричленом називається многочлен вигляду ax² + bx + c, де x — змінна, a, b і c — деякі числа-коефіцієнти, при цьому a ≠ 0. Коренями квадратного тричлена називаються числа, при яких тричлен дорівнює нулю.

Отже, щоб знайти корені квадратного тричлена, треба скласти відповідне йому квадратне рівняння (у лівій частині даний тричлен, у правій — нуль) і розв’язати його. Корені квадратного рівняння будуть коренями відповідного квадратного тричлена.

Якщо числа x₁ і x₂ є коренями деякого квадратного тричлена, то його можна розкласти на три множники, один із яких є першим коефіцієнтом тричлена при x², а два інші є різницею змінної x і кожного з коренів тричлена:
ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Якщо квадратний тричлен має один корінь, то його можна розкласти на множники, один із яких є першим коефіцієнтом, а другий є квадратом різниці змінної x і кореня тричлена: ax² + bx + c = a(x – x₁)².

Якщо тричлен коренів не має, то його не можна розкласти на лінійні множники.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Рівняння вигляду ax⁴ + bx² + c = 0, називається біквадратним. Таке рівняння розв’язують, зводячи його до квадратного.

Для цього квадрат змінної x позначають іншою буквою і говорять, що вводять нову змінну. Тоді квадрати змінної x замінюють новою змінною і одержують квадратне рівняння відносно нової змінної. Розв’язують його, знаходячи значення нової змінної. Після цього повертаються до заданої змінної, надаючи по черзі її квадрату знайдених значень. З одержаних рівнянь знаходять значення заданої змінної, які і є коренями рівняння.

Зверніть увагу!
Якщо новою змінною позначають парний степінь заданої змінної, то нова змінна не може набувати від’ємних значень.

До квадратного можна звести рівняння й інших степенів. Наприклад, (х + 1)⁶ – 9(х + 1)³ + 8 = 0.
Позначимо за у куб суми (х + 1). Тоді рівняння набуває вигляду: у² – 9у + 8 = 0.
Корені цього рівняння — 1 і 8.
Якщо у = 1, то (х + 1)³ = 1 (куб суми ікс і одиниці дорівнює одиниці), звідки х + 1 = 1, тоді х = 0.
Якщо у = 8, то (х + 1)³ = 8, звідки х + 1 = 2, тоді х = 1.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

При розв’язанні задач за допомогою рівнянь діють за таким алгоритмом:
1) Позначають деяку невідому величину буквою.
2) Складають буквений вираз за умовою задачі.
3) Складають рівняння на основі буквеного виразу та умов задачі.
4) Розв’язують одержане рівняння. Надають величині, яку позначали буквою, знайденого значення.
5) Перевіряють результат на відповідність умовам задачі.
6) Записують відповідь щодо шуканих величин.

Зазвичай у задачах ідеться не про математичні об’єкти. Такі задачі називають прикладними. Тоді складають математичну модель задачі, у якій ідеться про математичні поняття.

Розв’язання прикладних задач методом математичного моделювання складається з трьох етапів:
– формування математичної моделі задачі;
– розв’язання відповідної математичної задачі;
– аналіз одержаних результатів.

Зверніть увагу!
У прикладних задачах, коли йдеться не про математичні об’єкти, величини набувають додатних значень. Оскільки квадратне рівняння може мати і від’ємні корені, слід на початку розв’язання задачі встановлювати умову на змінну і перевіряти на виконання умови знайдені корені рівняння.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua