Раціональним називається рівняння, у якому ліва і права частини є раціональними виразами.

Дробовим називається таке раціональне рівняння, у якому ліва і права чистини є дробовими виразами.

Основний спосіб розв’язування дробових рівнянь зводиться до заміни його рівносильними перетвореннями до такого вигляду: ліва частина рівняння — це дробовий вираз, а права частина — нуль.

Одержане рівняння розв’язуємо, враховуючи, що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Тобто для розв’язання зведеного до такого виду рівняння прирівнюємо чисельник до нуля і знаходимо корені. Після цього виконуємо перевірку умови нерівності знаменника нулю. Якщо при знайденому значенні змінної знаменник дорівнює нулю, то це число не є коренем рівняння. Говорять, що такий корінь — сторонній.

Зверніть увагу!
1) Додавання до обох частин рівняння виразів, які містять змінну в знаменнику, може привести до втрати коренів або появи сторонніх коренів.
2) Множення обох частин рівняння на многочлен може привести до появи сторонніх коренів.
3) Ділення обох частин рівняння на многочлен може привести до втрати коренів.

Ці перетворення не є рівносильними, тому їх не можна використовувати при розв’язанні раціональних рівнянь.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

N-им степенем ненульового числа називається добуток n множників, кожен із яких дорівнює заданому числу.

Число, яке множать, називається основою степеня, число множників є показником степеня.

Саме число вважають першим степенем числа і показник степеня не пишуть.

Будь-який степінь числа 1 дорівнює одиниці ().
Нульовий степінь числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці: .
Степінь із від’ємним показником ненульового числа дорівнює числу, оберненому степеню з протилежним показником цього числа: .

Піднесення до степеня має такі властивості:
1) Добуток степенів з однаковою основою дорівнює степеню з тією ж основою і показником степеня, що дорівнює сумі показників степеня множників: .
Щоб помножити степені з однаковою основою, треба основу залишити без змін, а показники степеня додати.
2) Частка степенів з однаковою основою дорівнює степеню з тією ж основою і показником степеня, що дорівнює різниці показників степеня множників: .
Щоб поділити степені з однаковою основою, треба основу залишити без змін, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника.
3) Степінь степеня дорівнює степеню з тією ж основою і показником степеня, що дорівнює добутку показників степеня: .
Щоб піднести степінь до степеня, треба основу залишити без змін, а показники степеня помножити.
4) Степінь добутку множників дорівнює добутку степенів із тим самим показником кожного множника: .
Щоб піднести добуток множників до степеня, треба кожен множник піднести до цього степеня і результати перемножити.
5) Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня і чисельник, і знаменник: .

Стандартним виглядом числа називається його запис у вигляді добутку деякого числа, більшого або рівного одиниці, але меншого від десяти, на степінь числа десять.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Функція, яка задається формулою y =, де x — незалежна змінна, а k — число, яке не дорівнює нулю, називається оберненою пропорційністю.

Область визначення цієї функції — множина всіх чисел x, відмінних від нуля. Область значень — множина всіх чисел y, відмінних від нуля.

Графіком функції є гіпербола, що має дві вітки, які не з’єднуються між собою і наближаються до осей координат, але не досягають їх. Графік не перетинає вісь ординат. Графік не перетинає вісь абсцис.

Якщо число k додатне, то графік функції розміщується в першій і третій координатних чвертях. Функція в цьому випадку є спадною. Якщо число k від’ємне, то графік функції розміщується в другій і четвертій координатних чвертях. Функція в цьому випадку є зростаючою.

Графік оберненої пропорційності симетричний відносно початку координат.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел.
Область значень — множина всіх невід’ємних чисел.
Графіком функції є парабола.
Парабола — це крива, яка має дві вітки, що з’єднуються в точці, яка називається вершиною параболи.

Графік перетинає вісь ординат у точці з абсцисою 0. Графік дотикається до осі абсцис. Графік функції розміщується в першій і другій координатних чвертях. Графік функції симетричний відносно осі ординат.

При від’ємних значеннях змінної x функція спадна. При додатних значеннях змінної x функція зростаюча. При нульовому значенні змінної x значення функції y дорівнює нулю: x = 0, y = 0.

Якщо значення аргументу є протилежними числами, то значення функції в цих точках дорівнюють одне одному.

Щоб побудувати графік функції у = х², достатньо знайти значення функції при декількох додатних значеннях аргументу і х = 0; провести вітку параболи через одержані точки, після чого відобразити її симетрично відносно осі ординат.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Квадратним коренем із числа a називається число, квадрат якого дорівнює a.

Арифметичним квадратним коренем із числа a називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює a. Читаємо — «корінь квадратний з a».Знаком арифметичного квадратного кореня слугує радикал . Число a називається підкореневим виразом ().

Не існує кореня квадратного з від’ємного числа.
Якщо корінь квадратний із числа a має смисл, то квадрат цього кореня дорівнює самому числу a:.
Корінь квадратний із нуля дорівнює нулю: .

Історичні відомості
Поняття квадратного кореня з чисел відоме ще з часів стародавніх Вавилону та Єгипту, де були знайдені правила для їх наближеного обчислення.

Щоб розв’язати рівняння х² = а, скористаємося спочатку графічним способом.
Для графічного розв’язання рівняння х² = а необхідно побудувати графік функції y = x² і графік функції y = a. Абсциси точок перетину побудованих графіків будуть розв’язками рівняння.

Кількість розв’язків залежить від положення прямої y = а, яка паралельна осі абсцис.
Якщо a від’ємне, то пряма лежить у третій і четвертій координатних чвертях і не перетинає параболу. Тоді рівняння розв’язків не має.
Якщо a дорівнює нулю, то пряма співпадає з віссю абсцис. Тоді рівняння має один розв’язок x = 0.
Якщо a додатне, то пряма лежить у першій і другій координатних чвертях і перетинає параболу у двох точках. Тоді рівняння має два розв’язки — і .

Для аналітичного способу розв’язання рівняння х² = а запам’ятайте:
1) якщо а — від’ємне число, рівняння коренів не має;
2) якщо а дорівнює нулю, то корінь рівняння — нуль;
3) якщо а — число додатне, то рівняння має два корені — і.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua