Цілі числа – це натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль.

Раціональними називають додатні числа (і дробові, і цілі), від’ємні числа (і дробові, і цілі) і число нуль. Раціональними називають числа, які можна представити у вигляді відношення двох натуральних чисел.

Сукупність натуральних чисел, протилежних їм чисел і числа нуль називають множиною цілих чисел. Сукупність цілих чисел (і додатних, і від’ємних), а також дробових чисел називають множиною раціональних чисел.

Сумою двох раціональних чисел з однаковими знаками є число, яке має той самий знак, що й доданки, а модуль його є сумою модулів цих доданків.

Щоб додати два числа з однаковими знаками, необхідно додати їх модулі і надати одержаному числу знак доданків. Наприклад, сума чисел мінус десять і мінус тири дорівнює числу мінус тринадцять.
Сумою двох раціональних чисел з різними знаками є число, яке має знак доданка з більшим модулем, а модуль його дорівнює різниці модулів доданків.

Щоб додати два числа з різними знаками, необхідно від більшого модуля чисел відняти менший модуль і надати одержаній різниці знак числа з більшим модулем. Наприклад, сума чисел одинадцять і мінус шістнадцять дорівнює мінус п’яти.
Сумою двох протилежних чисел є число нуль. Наприклад, сума чисел три і мінус три дорівнює нулю.

Відняти від одного числа друге – означає до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику. Наприклад, щоб від 10 відняти 12, треба до 10 додати –12, і одержимо число –2.
Щоб від –4 відняти 8, треба до –4 додати –8, і одержимо число –12.
Щоб від 6 відняти –4, треба до 6 додати 4, й одержимо число 10.

Добуток двох раціональних чисел з різними знаками є від’ємним числом, а модуль добутку є добутком модулів множників.
Добуток двох чисел з однаковими знаками є додатним числом, а модуль добутку є добутком модулів множників.
Якщо один із множників — нуль, то добуток дорівнює нулю. Добуток може дорівнювати нулю тоді, і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Непарний степінь від’ємного числа – число від’ємне. Парний степінь числа, відмінного від нуля, – число додатне.

Частка двох чисел із різними знаками є від’ємним числом, а модуль частки є результатом ділення модуля діленого на модуль дільника.
Частка двох чисел з однаковими знаками є додатним числом, модуль частки є відношенням модулів діленого та дільника.
Результатом ділення нуля на будь-яке число (крім нуля) є нуль. На нуль ділити не можна.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Для додавання раціональних чисел зберігаються переставна і сполучна властивості.
- Від перестановки доданків значення суми не змінюється.
- При заміні кількох доданків їх сумою результат додавання не зміниться.

Віднімання — дія, за допомогою якої за відомими сумою та одним із доданків знаходять другий доданок. Щоб відняти будь-яке число, досить до зменшуваного додати протилежне до від’ємника число.

Множення раціональних чисел має переставну, сполучну та розподільну властивості, аналогічно до натуральних чисел.
- переставна властивість – від перестановки множників значення добутку не зміниться;
- сполучна властивість – щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел.
- розподільна властивість – щоб суму двох чисел помножити на деяке число, треба кожний доданок помножити на це число і результати додати.

При розкритті дужок користуємось такими правилами:
– Якщо перед дужками стоїть знак «–», то, розкриваючи дужки, потрібно змінити знак кожного доданка на протилежний.
– Якщо перед дужками стоїть знак «+», то, розкриваючи дужки, знак кожного доданка зберігаємо.

Подібними є доданки, які мають спільну буквену частину. Числові доданки є подібними.

Заміну суми подібних доданків на один вираз називають зведенням подібних доданків.Щоб звести подібні доданки, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на їх спільну буквену частину.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Рівність, що містить невідоме, називається рівнянням.

Розв’язати рівняння – означає знайти його розв’язки або довести, що рівняння не має розв’язків.

Коренем рівняння називається число, підстановка якого в рівняння замість невідомого перетворює рівняння в правильну числову рівність.

Якщо до двох частин рівняння додати або відняти одне й те саме число або вираз, що містить невідоме, то одержане рівняння бути мати ті ж корені.

У рівнянні доданки можна переносити з однієї частини в іншу, змінюючи при цьому їхні знаки на протилежні.

Корені рівняння не зміняться, якщо обидві частини рівняня помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Щоб виконати перевірку знайдених розв’язків рівняння, необхідно в рівнянні замість невідомого підставити знайдене значення. Якщо одержана числова рівність правильна, то знайдене число є коренем рівняння; якщо одержана числова рівність неправильна, то знайдене число не є коренем рівняння.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Перпендикулярні прямі — прямі, що при перетині утворюють прямий кут; відрізки, що лежать на цих прямих теж називаються перпендикулярними.

Зверніть увагу!
При перетині двох перпендикулярних прямих утворюється чотири прямих кути.
Відрізок, проведений із точки, яка не лежить на прямій, до прямої, називається перпендикуляром, опущеним із точки на пряму.

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на дану пряму.

Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, перпендикулярну їй, і тільки одну.

Коли прямі на площині мають дві спільні точки, то кажуть, що вони збігаються.

На площині дві прямі можуть мати одну спільну точку, тоді вони перетинаються, або не мати жодної спільної точки, тоді вони паралельні.

Паралельними називаються прямі, що лежать в одній площині і не перетинаються; відрізки, що лежать на цих прямих, теж називаються паралельними.

Дві прямі, що лежать в одній площині і є перпендикулярними до третьої прямої, паралельні.

Через точку площини, яка не належить даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

Відстань між паралельними прямими – це довжина перпендикуляра, опущеного з обраної точки на одній прямій на другу пряму.

Зверніть увагу!
Протилежні сторони прямокутника є паралельними відрізками.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Прямокутна система координат складається з двох взаємно перпендикулярних прямих OX та OY, які перетинаються у точці O — початку координат, і обраного одиничного відрізку.

Кожна з цих прямих є координатною прямою. Пряма OX – горизонтальна і називається віссю абсцис, а пряма OY - вертикальна і називається віссю ординат.

Площина, на якій вибрано систему координат, — координатна площина.

Осі координат ділять координатну площину на чотири координатні чверті.

Кожна точка площини має дві координати. Координата, яка відкладається по осі OX, називається абсцисою, її завжди записують першою. Координата, що відкладається по осі OY, — ординатою.

Зверніть увагу! Точка О – початок координат, має координати нуль-нуль.

Усі точки, що лежать на осі абсцис, мають ординати, що дорівнюють нулю.

Усі точки, що лежать на осі ординат, мають абсциси, що дорівнюють нулю.

Кожній точці на координатній площині відповідає лише одна пара координат.

Кожній парі чисел відповідає лише одна точка координатної площини.

Прямокутну систему координат називають прямокутною декартовою системою координат на честь французького математика Рене Декарта, який запропонував цю ідею.

На координатній площині можна наочно зобразити залежність між різними величинами, наприклад, відстані від часу, температури від часу тощо. Значення однієї величини зображуються на осі абсцис, другої – на осі ординат, а залежність між ними – точкою з відповідними координатами.

Неперервна лінія, що з’єднує ці точки, називається графіком залежності величин. За графіком можна знаходити відповідні значення величин, аналізувати їх зміни.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua