Числа, на які задане число ділиться націло, називаються дільниками цього числа.

На два діляться тільки ті натуральні числа, які закінчуються на 0, 2, 4, 6, 8. Такі натуральні числа називаються парними, інші — непарними.

На три діляться лише ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3.

На п’ять діляться лише ті натуральні числа, які закінчуються на 0 та 5.

На десять діляться лише ті натуральні числа, які закінчуються на 0.

На дев’ять діляться тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Запам’ятайте!
На 4 діляться ті парні натуральні числа, у яких дві останні цифри — або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 4.

На 8 або 125 діляться ті натуральні числа, у яких три останні цифри — або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 8 або 125.

На 6 діляться ті парні натуральні числа, які діляться на 3.

На 15 діляться ті натуральні числа, які діляться на 5 і 3.

На 25 діляться ті натуральні числа, у яких дві останні цифри — або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 25.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Натуральне число називається простим, якщо воно має лише два дільники, одиницю і саме число.

Натуральне число називається складеним, якщо воно має більше, ніж два дільники.

Число 1 не є складеним і не є простим. Найменше просте число – число два. Найбільшого простого числа не існує. Усі прості числа, крім числа два, є непарними.

Кожне складене число можна розкласти на прості множники.
Розкладом на прості множники називають запис числа у вигляді добутку простих множників.
Щоб розкласти число на прості множники, треба знайти його прості дільники. Зручно розкладати число на множники таким чином:

-записуємо число і проводимо праворуч вертикальну риску;
-найменший простий дільник цього числа записуємо праворуч від риски;
-зліва від риски під заданим числом записуємо частку від ділення числа на простий дільник;
-праворуч від риски записуємо найменший простий дільник одержаного числа.

Продовжуємо таким чином знаходити прості дільники, доки частка дорівнюватиме одиниці. Праворуч від риски розташовані найменші прості дільники заданого числа. Розкладом на прості множники буде добуток цих найменших дільників.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Спільним дільником кількох натуральних чисел називають число, на яке діляться всі ці числа націло.

Найбільшим спільним дільником кількох натуральних чисел називають найбільший дільник, на який діляться ці числа націло, — НСД. Наприклад, НСД чисел 10; 40; 70 дорівнює десяти.

Щоб знайти НСД кількох натуральних чисел, потрібно їх розкласти на прості множники та перемножити всі спільні множники. Цей добуток і буде найбільшим спільним дільником.

Два числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює одиниці, називаються взаємно простими числами.

Спільним кратним кількох натуральних чисел є число, яке ділиться на всі ці числа без остачі.

Найменше спільне кратне (НСК) кількох натуральних чисел — це найменше число, яке ділиться на всі ці числа націло. Наприклад, НСК чисел 10 і 15 дорівнює добутку чисел 2, 3 і 5 тобто дорівнює 30.

Щоб знайти НСК кількох чисел, потрібно:
-ці числа розкласти на прості множники;
-потім розклад одного числа доповнити простими множниками інших чисел, яких не вистачає;
-знайти добуток цих множників.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Основна властивість дробу: якщо знаменник і чисельник звичайного дробу помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля, то значення отриманого дробу буде дорівнювати даному.

Ділення чисельника і знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називається скороченням дробу.

Дріб, чисельник і знаменник якого є взаємно простими числами, називають нескоротним.

Наприклад, дріб чотири восьмих можна скоротити на чотири, отримаємо дріб одна друга. Дріб три п’ятих нескоротний, оскільки числа три і п’ять взаємно прості.

Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, потрібно:
- знайти спільне кратне знаменників дробів;
- для кожного дробу знайти додатковий множник, для чого потрібно спільний знаменник дробів поділити на кожний зі знаменників дробів;
- чисельник і знаменник дробів помножити на відповідний додатковий множник.

Щоб порівняти дроби, їх треба перетворити так, щоб знаменники були однаковими, тобто звести дроби до найменшого спільного знаменника.

Із двох дробів з однаковими знаменниками менший той, у якого чисельник менший.

Із двох дробів з однаковими чисельниками менший той, у якого знаменник більший.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно звести їх до найменшого спільного знаменника, виконати додавання або віднімання чисельників і підписати спільний знаменник.

Щоб додати або відняти мішані числа, дробові частини яких мають різні знаменники, необхідно звести дробові частини до найменшого спільного знаменника, після чого виконати додавання або віднімання цілих частин і додавання або віднімання дробових частин.

Добутком двох дробів буде дріб, у якого чисельник є добутком чисельників дробів, а знаменник — добутком знаменників. Щоб перемножити звичайні дроби, треба перемножити їх чисельники і перемножити їх знаменники. Перший добуток записати в чисельник, а другий – у знаменник.
Зверніть увагу!
При множенні звичайних дробів можна спочатку записати в чисельник результату добуток чисельників, а в знаменник – добуток знаменників. Виконати скорочення одержаного дробу, якщо це можливо, і після цього перемножити одержані числа в чисельнику і знаменнику.
Множення дробів підпорядковується розподільній, переставній і сполучній властивостям.
При множенні звичайного дробу на натуральне число натуральне число записують у вигляді неправильного дробу зі знаменником одиниця, після чого виконують множення дробів.
При множенні мішаних чисел множники представляють неправильними дробами і виконують множення звичайних дробів.

Два числа, добуток яких дорівнює одиниці, називаються взаємно оберненими.Щоб знайти число, обернене до звичайного дробу, треба його чисельник і знаменник поміняти місцями.

Щоб знайти число, обернене до натурального числа, треба натуральне число представити у вигляді неправильного дробу зі знаменником одиниця і поміняти місцями чисельник і знаменник дробу. Отже, чисельник дробу, оберненого до натурального числа, дорівнює одиниці.

Щоб поділити один дріб на другий, потрібно перший дріб помножити на дріб, обернений до дільника.
Щоб поділити звичайний дріб на натуральне число, необхідно даний дріб помножити на дріб, у чисельнику якого одиниця, а в знаменнику число, що дорівнює дільнику.
Щоб поділити мішані числа, необхідно мішані числа представити у вигляді неправильних дробів і виконати ділення одержаних звичайних дробів.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua