Щоб полічити (порахувати) будь-які предмети, людей, тварин, використовують натуральні числа.

Натуральні числа – це числа, якими користуються при лічбі: один, два, три, чотири, п’ять, шість, сім, вісім, дев’ять, десять, одинадцять, дванадцять і так далі.

Такий ряд чисел називають ряд натуральних чисел.

Зверніть увагу!
– ряд натуральних чисел починається з числа «один». «Один» — це найменше натуральне число;
– ряд натуральних чисел записують зазвичай у порядку зростання. Кожне наступне число, починаючи з другого, на один більше, ніж попереднє;
– ряд натуральних чисел нескінченний. Для будь-якого натурального числа можна назвати наступне, додавши до даного числа один. Отже, найбільшого натурального числа не існує.

Щоб записати натуральні числа, використовують знаки, які називаються цифрами. Система запису чисел, якою ми користуємось, називається десятковою, оскільки вона містить десять цифр:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Запам’ятайте!
Цифр – десять, натуральних чисел – безліч.

У запису натуральних чисел відсутність одиниць якогось розряду показують цифрою «нуль».

Цим знаком позначають також і число «нуль». Це число означає «жодного». Якщо від деякого числа а відняти рівне йому число а, то одержимо число нуль.

Зверніть увагу! Число «нуль» не є натуральним числом.

Число нуль має такі властивості:
– якщо до будь-якого числа а додати число нуль, одержимо число а;
– якщо від будь-якого числа а відняти число нуль, одержимо число а;
– якщо будь-яке число а помножити на число нуль, одержимо число нуль.

Зверніть увагу! Ділити на нуль не можна.

Запам’ятайте! Нуль – найменше з чисел, з якими ми познайомимось у п’ятому класі.

Історичний екскурс.

Близько п’ятисотого року до нашої ери люди почали користуватися римськими цифрами. Цими цифрами ми користуємось іноді і тепер (для позначення століть, розділів тощо).

Цифри, якими ми користуємось тепер, називаються арабськими, хоча араби запозичили їх в Індії ще до ІХ століття. У Європі вони з’явилися в рукописах у Х–ХІІІ століттях, а загальне визнання дістали в другій половині XV століття.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Ми вже знаємо, що для запису натуральних чисел використовують цифри: одиницю; двійку; трійку; четвірку; п’ятірку; шістку; сімку; вісімку; дев’ятку; нуль.

Значення цифри залежить від її місця в запису числа. Наприклад,
– якщо цифра «одиниця» стоїть на останньому місці в запису числа, вона означає «одну одиницю»;
– якщо цифра «одиниця» стоїть на передостанньому місці в запису числа, вона означає «один десяток»;
– якщо цифра «одиниця» стоїть на третьому місці з кінця запису числа, вона означає «одну сотню».

Одиниці, десятки, сотні — це розряди. Одноцифрове число має тільки розряд одиниць, двоцифрове має розряд десятків і розряд одиниць, трицифрове число – має розряд сотень, розряд десятків і розряд одиниць.

Зверніть увагу! Цифра «нуль» у запису числа означає відсутність даного розряду. Десять одиниць – десяток; десять десятків – сотня, десять сотень – тисяча.

Для читання чисел, які містять у запису більше, ніж три цифри, їх уявно розбивають, починаючи справа, на групи по три цифри в кожній. Ці групи називаються класами. Три останні цифри в запису числа становлять клас одиниць. Йому передує клас тисяч, перед яким записують клас мільйонів. Перед ним записують клас мільярдів.

Зверніть увагу! Кожний клас містить три розряди.

Щоб прочитати число, його уявно розбивають, починаючи справа, на класи і називають зліва по черзі число одиниць кожного класу і додають назву класу. Наприклад, два мільйони триста сімдесят шість тисяч дев’ятсот сімнадцять.

Якщо всі три цифри якого-небудь класу нулі, такий клас не називають. Наприклад, один мільярд чотириста сім тисяч сто вісімдесят.

Запам’ятайте! Число, більше на одиницю за число 999, – це одна тисяча; Число, більше на одиницю за число 999 999, – це один мільйон; Число, більше на одиницю за число 999 999 999, – це один мільярд.

Історичні відомості. Наші назви чисел невипадкові. Наприклад:

«вісімнадцять» означає «вісім на десять» (дцать — десять);

«вісімдесят» — вісім десятків; «вісімсот» — вісім сотень.

У сучасному світі, крім десяткової системи числення, використовуються й інші, наприклад, двійкова, в якій є лише дві цифри – нуль та одиниця.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Якщо на аркуші паперу позначити дві точки А і В і з’єднати точки лінією за допомогою лінійки, то одержимо фігуру, яка називається «відрізком». Одержаний відрізок позначається АВ або ВА. Точки А і В називаються кінцями відрізка.

Зверніть увагу! Точки позначають великими латинськими літерами.

Запам’ятайте! Будь-які дві різні точки можна з’єднати лише одним відрізком.

Кожний відрізок має довжину. Довжину відрізка, який зображено на аркуші, можна виміряти за допомогою лінійки з поділками. Для цього прикладемо до відрізка лінійку так, щоб поділка, позначена числом «нуль», сумістилася з одним кінцем відрізка, тоді другий кінець відрізка вкаже на число, яке дорівнює довжині відрізка.

Довжини відрізків вимірюються в таких одиницях довжини:
– міліметрах;
– сантиметрах;
– дециметрах;
– метрах;
– кілометрах.

Запам’ятайте!
1 см = 10 мм;
10 см = 1 дм;
10 дм = 100 см = 1 м;
1 000 м = 1 км.

Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають рівні довжини.

Щоб побудувати відрізок заданої довжини, необхідно позначити точку, яка буде одним кінцем відрізка. Лінійку прикласти так, щоб точка сумістилася з позначкою «нуль». Другий кінець відрізка позначити біля позначки лінійки, що відповідає заданій довжині. За допомогою лінійки з’єднати позначені точки.

Якщо декілька відрізків розмістити так, що кінець одного відрізка є початком другого, то утвориться фігура, яка називається ламаною. Відрізки, з яких складається ламана, називаються ланками ламаної.

Довжина ламаної дорівнює сумі довжин ланок, з яких вона складається.

Якщо на аркуші паперу провести відрізок АВ, і за допомогою лінійки продовжити його вліво і вправо за кінці відрізка, то одержимо фігуру, яка є прямою. Продовжувати лінію можна нескінченно. Пряму називають за допомогою двох її точок, через які вона проведена. Ми провели пряму АВ. Іноді прямі позначають однією маленькою латинською буквою.

Запам’ятайте! Пряма не має кінців; пряма є нескінченною.
Через дві різні точки можна провести лише одну пряму.

Якщо провести відрізок АВ і продовжити його за точку В, одержимо фігуру, яка називається променем. Точка А – початок променя. Кінця промінь не має. Такий промінь називається АВ.
Якщо відрізок АВ продовжити за точку А, то одержимо промінь ВА.

Зверніть увагу! У назві променя перша літера — початок променя, друга – будь-яка точка цього променя.

Якщо на прямій позначити точку, то вона розіб’є пряму на два промені, тому промені ще називають півпрямими. Два промені, які утворюють пряму, називаються доповняльними променями, оскільки доповнюють один другого до прямої.

Промінь, на якому обрано початок відліку і одиничний відрізок, називається координатним променем. Кожна точка координатного променя має свою координату. Наприклад, точка, яка знаходиться на відстані п’яти одиничних відрізків від початку відліку, має координату п’ять.
Координати точок записуються у дужках після букви, якою позначено точку.

Зверніть увагу!
Координатний промінь нескінченний.
Початок відліку має координату нуль.
Довжина одиничного відрізка може бути будь-якою.

Прикладом частини координатного променя може слугувати лінійка з поділками. Кажуть, що на лінійку нанесено шкалу, тобто систему поділок з відповідними числами.
Шкалу також мають термометр, спідометр, годинник.
Відстань між найменшими поділками шкали називають ціною поділки.
Ціна поділки учнівської лінійки – один міліметр, термометра – один градус температури.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Порівняти два натуральних числа – означає з’ясувати, яке з них більше, а яке – менше.
Результати порівняння записують за допомогою знаків менше (<) або більше (>). Такі записи називаються нерівностями.
Із двох натуральних чисел, які розміщені на координатному промені, більше те, яке розміщене правіше, і менше те, що розміщене лівіше.
Порівнювати багатоцифрові натуральні числа за допомогою координатного променя не дуже зручно.
Якщо натуральні числа мають різну кількість цифр, то більше те число, в запису якого більше цифр, і менше те число, в запису якого менше цифр.
Якщо в запису натуральних чисел однакова кількість цифр, то для їх порівняння користуються таким правилом:
Із двох натуральних чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якого більшою є перша з неоднакових цифр. При цьому порівняння здійснюють, рухаючись зліва направо.

Збільшення натурального числа на декілька одиниць здійснюють дією додавання.
Числа, які додають, називають доданками. Одержаний результат називають сумою.
Додавання багатоцифрових натуральних чисел здійснюють порозрядно; до одиниць додають одиниці, до десятків – десятки. До сотень – сотні і так далі. При цьому додавання виконують, починаючи з одиниць.

Зверніть увагу!
Багатоцифрові числа зручно додавати у стовпчик. При цьому треба слідкувати, щоб одиниці були записані під одиницями, десятки під десятками і так далі.

Запам’ятайте!
Додавання має такі властивості:
– Від перестановки доданків значення суми не зміниться. Це переставна властивість додавання.
– Щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього чисел. Це сполучна властивість додавання.

Зменшення числа на декілька одиниць здійснюється дією віднімання.
Число, від якого віднімають, називають зменшуваним. Число, яке віднімають, називають від’ємником. Результат дії віднімання називають різницею.
Віднімання – дія, протилежна до дії додавання.

Зверніть увагу!
Різниця чисел а і b показує, на скільки число а більше за число b.
Також різниця чисел а і b показує, на скільки число b менше від числа а.

Віднімання багатоцифрових чисел зручно записувати у стовпчик і виконувати порозрядно. При цьому одиниці від’ємника записують під одиницями зменшуваного, десятки – під десятками і так далі. Віднімання починають із розряду одиниць.

Запам’ятайте!
Якщо від деякого числа відняти нуль, то одержимо те ж саме число.
Якщо від деякого числа відняти рівне йому число, то одержимо нуль.
Щоб від деякого числа відняти суму двох чисел, можна від нього відняти перший із доданків, а від результату відняти другий із доданків.
Щоб від суми двох чисел відняти деяке число, можна від одного з доданків відняти це число, а до результату додати другий із доданків.
Якщо зменшуване збільшити на кілька одиниць, то різниця збільшиться на стільки ж одиниць.
Якщо зменшуване зменшити на кілька одиниць, то різниця зменшиться на стільки ж одиниць.
Якщо від’ємник зменшити на кілька одиниць, то різниця збільшиться на стільки ж одиниць.
Якщо від’ємник збільшити на кілька одиниць, то різниця зменшиться на стільки ж одиниць.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Кутом називають фігуру, яка складається з двох променів, що виходять з однієї точки.
Спільний початок променів — вершина кута, а самі промені — це сторони кута.
Кути називають трьома великими латинськими буквами за назвами променів. Букву, яка відповідає вершині кута, називають у середині. Перед записом ставлять значок кута.
Кут можна називати й однією буквою, що відповідає вершині кута.
Якщо при накладанні кутів вони збігаються, то такі кути є рівними.

Промінь, що виходить із вершини кута і проходить між сторонами кута, ділить кут на два кути.
Бісектрисою кута називається промінь, який виходить із вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут на два рівні кути.

Вимірювання кутів

Кожний кут має свою величину. Величина кута вимірюється в градусах.
Величини кутів вимірюють за допомогою приладу, який називається транспортиром. Його шкала містить 180 поділок, ціна однієї поділки – один градус.
Щоб виміряти величину кута, сумістимо вершину кута з центром транспортира так, щоб одна зі сторін кута сумістилась із лінією транспортира, що проходить через поділку нуль градусів. Тоді поділка на шкалі транспортира, через яку пройде друга сторона кута, покаже величину кута.

Зверніть увагу! Рівні кути мають рівні величини. Якщо два кути не рівні, то більшим є той, який має більшу величину.
Якщо промінь виходить із вершини кута і проходить між його сторонами, то сума величин кутів, на які він розбивається променем, дорівнює величині даного кута.

Побудова кутів

Щоб побудувати кут заданої величини, треба провести промінь, який буде однією стороною кута. Сумістити центр транспортира з початком променя так, щоб промінь сумістився з лінією транспортира, що проходить через поділку нуль градусів. Якщо через початок цього променя і поділку на шкалі транспортира, яка відповідає заданій градусній мірі кута, провести промінь, одержимо кут заданої величини.

Види кутів. Бісектриса кута

Два доповняльні промені утворюють кут, який називається розгорнутим. Величина розгорнутого кута дорівнює 180 градусів.
Кут, який дорівнює половині розгорнутого кута, називається прямим кутом. Величина прямого кута дорівнює 90 градусів.
Кут, величина якого більша від 0 градусів і менша за 90 градусів, називається гострим кутом.
Кут, величина якого більша за 90 градусів і менша від 180 градусів, називається тупим кутом.

Запам’ятайте!
Бісектриса розгорнутого кута ділить його на два прямих кути.
Гострий кут менший від прямого і тупого кута, а також від розгорнутого кута.
Прямий кут менший від тупого кута і від розгорнутого кута.
Тупий кут менший від розгорнутого кута.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua