Теорема косинусів

У будь-якому трикутнику всі три його сторони і кут між двома з них мають властивість, яка виражається в теоремі косинусів: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Якщо в трикутнику три сторони позначити як a, b, c, і протилежні їм кути відповідно α, β, γ , то справедливими є співвідношення: . . .

З теореми косинусів випливає, що квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін плюс мінус подвоєний добуток однієї зі сторін на проекції другої сторони. Якщо протилежний кут гострий, то беремо знак мінус, якщо протилежний кут тупий, беремо знак плюс.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим.
Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим.
Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим.

З теореми косинусів випливає формула косинуса будь-якого кута трикутника: косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

,  , .

За допомогою теореми косинусів можна довести теорему про діагоналі паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох суміжних його сторін.

Теорема синусів

Співвідношення між сторонами і протилежними до них кутами будь-якого трикутника виражається в теоремі синусів: сторони будь-якого трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Якщо в трикутнику три сторони позначити як a, b, c , і протилежні їм кути відповідно α, β, γ, то справедливим є співвідношення: .

Якщо трикутник є вписаним в коло з радіусом R, то відношення сторін трикутника до синусів протилежних їм кутів дорівнює двом радіусам описаного кола (тобто дорівнює діаметру описаного навколо трикутника кола).

З теореми синусів випливає, що в трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки, проти більшого кута лежить більша сторона.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Розв’язати трикутник — означає за відомими його сторонами і кутами знайти невідомі його сторони і кути.

Задачі на розв’язання трикутників поділяються на такі види:

1. Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома кутами.
План розв’язання:
–   Знаходимо третій кут трикутника, враховуючи, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.
–   Записуємо теорему синусів для цього трикутника і, обираючи попарно співвідношення сторін і протилежних до них кутів, знаходимо дві інші сторони трикутника.

2. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом між ними.
План розв’язування:
–   За теоремою косинусів знаходимо третю сторону.
–   За наслідком із теореми косинусів знаходимо косинуси невідомих кутів трикутника, а по можливості і самі кути.
Зверніть увагу!
Це можна зробити і за допомогою теореми синусів.

3. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них.
План розв’язування:
–   За теоремою синусів знаходимо кут, протилежний до другої відомої сторони. При цьому зверніть увагу, що одному і тому ж значенню синуса кута відповідають два кути — гострий і тупий, суміжний із цим гострим кутом. Враховуйте, що проти більшої сторони лежить більший кут.
–   Знаходимо третій кут трикутника.
–   За теоремою синусів знаходимо третю сторону трикутника.
Зверніть увагу! Ця задача може мати два розв’язки.

4. Розв’язання трикутника за відомими трьома сторонами.
План розв’язування:
–   За наслідком із теореми косинусів знаходимо один із кутів трикутника.
–   За теоремою синусів знаходимо два інших кути трикутника.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Ламана — це фігура, яка складається з певної кількості точок і відрізків, що послідовно їх сполучають.
Проста ламана — це ламана, яка не має самоперетинань.
Замкнута ламана — ламана, у якої збігаються початок і кінець.

Многокутник — це проста замкнута ламана. Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, ланки ламаної — сторонами многокутника. Діагоналі многокутника — це відрізки, що з’єднують несусідні вершини многокутника.
n-кутник — це многокутник з n вершинами.

Опуклий многокутник називається правильним, якщо всі його сторони рівні і рівні всі його кути.
Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на деякому колі.
Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються деякого кола.
Правильний опуклий многокутник є вписаним у коло й описаним навколо кола, при цьому центри вписаного й описаного кіл співпадають, і ця точка є центром правильного многокутника..

Для правильних многокутників існує поняття центрального кута многокутника — кута між двома відрізками, що з’єднують центр многокутника з двома сусідніми його вершинами. Градусна міра центрального кута правильного многокутника дорівнює . У правильному многокутнику відрізок, що з’єднує центр многокутника з вершиною многокутника, є радіусом кола, описаного навколо цього многокутника. Радіус описаного кола дорівнює відношенню сторони многокутника до подвоєного синуса половини центрального кута многокутника. , де а — це сторона многокутника, а n — кількість кутів многокутника.

У правильному многокутнику відрізок, що з’єднує центр многокутника з серединою сторони многокутника, є радіусом кола, вписаного в цей многокутник. Радіус вписаного кола дорівнює відношенню сторони многокутника до подвоєного тангенса половини центрального кута многокутника: , де а — це сторона многокутника, а n — кількість кутів многокутника.

Запам’ятайте!
У правильному трикутнику радіус описаного кола дорівнює стороні, поділеній на корінь квадратний із числа 3: , а радіус вписаного кола дорівнює стороні трикутника, поділеній на два кореня квадратних із числа 3: . У правильного трикутника радіус описаного кола вдвічі більший за радіус вписаного кола.

У правильному чотирикутнику радіус описаного кола дорівнює стороні, поділеній на корінь квадратний із числа 2: , а радіус вписаного кола дорівнює половині сторони чотирикутника: r = a/2.

У правильному шестикутнику радіус описаного кола дорівнює стороні многокутника , а радіус вписаного кола дорівнює половині сторони шестикутника, помноженій на корінь квадратний із числа 3: .

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Коло — це фігура, що складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки не більша від даної. Дана точка називається центром кола, а дана відстань — радіусом кола.

У колі відношення довжини кола до діаметра кола не залежить від кола й наближено дорівнює 3,14. Це число позначають буквою π.

Таким чином, довжина кола дорівнює l = 2πR, де R — це радіус кола, l — довжина кола.

Дуга кола визначається радіусом кола r і центральним кутом α. Знаючи ці два значення, нескладно обчислити довжину дуги L за формулою: L = πrα/180.

Площа круга дорівнює половині добутку довжини кола, що її обмежує, на радіус:

S = (lR) / 2 = πR² = (πd²) / 4

Круговий сектор — частина круга, що лежить усередині відповідного центрального кута.

Площа кругового сектора визначається за формулою: S = (πR²n) / 360⁰.

Круговий сегмент — спільна частина круга й півплощини.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Вектор — це напрямлений відрізок.

Вектор має початок та кінець. Графічно вектори зображаються у вигляді напрямлених відрізків певної довжини. Напрям вектора задається стрілкою на його кінці. Позначається вектор або малою латинською буквою зверху зі стрілкою , або двома великими буквами зі стрілкою , перша з яких є початком, а друга кінцем вектора.

Абсолютною величиною або модулем вектора називається довжина відрізка, що зображує вектор.
Позначається ||.

Два вектори називаються рівними, якщо їх модулі та напрямки є однаковими.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони паралельні одній прямій.
Нехай вектор має початком точку A (x₁; x₂), а кінцем — точку B (y₁; y₂).
Координатами вектора (a₁; a₂) називаються числа a₁=x₂-x₁, a₂=y₂-y₁.
Тобто, щоб визначити координати вектора, потрібно від координат кінця вектора відняти координати його початку.

Два вектори є рівними, якщо в них рівні відповідні координати.
Вектор, у якого початок збігається із його кінцем, називається нуль-вектором .

Модуль (довжина) вектора визначається за формулою: .

Матеріал з сайту: http://fizma.net