Кожна з частин площини, на які будь-який кут розбиває площину, називається плоским кутом. Плоскі кути, які мають спільні сторони, називаються доповняльними кутами, а їхня сума дорівнює 360.

Кут, вписаний у коло — кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають дане коло.
Вписаний у коло кут, сторони якого перетинають коло у двох певних точках, дорівнює половині кута між радіусами кола, проведеними в ці точки, або доповнює половину цього кута до 180°.
Якщо вписаний кут є гострим, то він дорівнює половині кута між радіусами, а якщо уписаний кут є тупим, то він доповнює його до 180°. Усі уписані кути, сторони яких проходять через дві певні точки кола, а вершини лежать з одного боку від прямої, що з’єднує ці точки, рівні.

Кути, сторони яких проходять через кінці діаметра, є прямими.

Центральний кут— це плоский кут, вершина якого є центром кола, а сторони кута перетинають коло.

Дуга кола, що відповідає центральному куту, — це частина кола, яка знаходиться всередині кута.

Градусна міра дуги — градусна міра відповідного центрального кута.

Кут, уписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута.

Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. Якщо чотирикутник можна вписати в коло, то сума його протилежних кутів дорівнює 180° і навпаки. Центр кола, описаного навколо чотирикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін чотирикутника.
Навколо паралелограма можна описати коло, тільки якщо він є прямокутником. Центр такого кола — точка перетину діагоналей прямокутника. Навколо трапеції можна описати коло, тільки якщо вона рівнобічна.

Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо прямі, що містять сторони чотирикутника, є дотичними до кола. Центр кола, вписаного в чотирикутник, є точкою перетину бісектрис цього чотирикутника. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то суми протилежних сторін чотирикутника рівні.
У паралелограм можна вписати коло лише тоді, коли паралелограм є ромбом.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Для середніх ліній трикутника і трапеції справджується теорема, яку довів Фалес Мілетський, тому тепер вона носить його ім’я.

Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій його стороні.
Або: паралельні прямі, що перетинають дві дані прямі й відтинають на одній прямій рівні відрізки, відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.

Зверніть увагу!
За цим принципом поділяють відрізок на скільки завгодно рівних відрізків. З одного кінця заданого відрізка проводять промінь, на якому відкладають необхідну кількість рівних відрізків певної довжини, після чого через кінець останнього з відкладених відрізків і другий кінець заданого відрізка проводять пряму, паралельно якій проводять прямі через поділки на промені. Точки перетину цих прямих із заданим відрізком поділяють його на необхідну кількість рівних відрізків.

Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Властивість бісектриси трикутника
Бісектриса трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні відповідним іншим сторонам трикутника.

Середня лінія трикутника — відрізок, що з’єднує середини двох його сторін. У кожного трикутника три середні лінії.
Середня лінія трикутника, що з’єднує середини двох даних сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині. Ця властивість середньої лінії трикутника дозволяє довести такі властивості геометричних фігур: Якщо з’єднати відрізками середини сторін трикутника, то одержимо трикутник, периметр якого вдвічі менший за периметр даного трикутника.

Якщо з’єднати відрізками середини сторін чотирикутника, то одержимо паралелограм.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці і нею діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини трикутника.

Середня лінія трапеції — відрізок, що з’єднує середини бічних ліній. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їхній півсумі.
Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то висота трапеції дорівнює її середній лінії.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Теорему Фалеса можна узагальнити.
Узагальнена теорема Фалеса — це теорема про пропорційні відрізки. Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають від його сторін пропорційні відрізки.

Подібністю називається таке перетворення однієї фігуру в іншу, при якому відстані між точками змінюються в одне й те саме число разів. Це число називається коефіцієнтом подібності.

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності. У подібних трикутників відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

Ознаки подібності трикутників
За двома кутами. Якщо два кути одного трикутника рівні двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
За двома сторонами і кутом між ними. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника й кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.
За трьома сторонами. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

Зверніть увагу!
Рівносторонні трикутники подібні.
Прямокутні рівнобедрені трикутники подібні.
Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають по рівному куту між відповідними сторонами.
Пряма, паралельна одній зі сторін трикутника і перетинає дві інші сторони, відтинає трикутник, подібний даному.
Діагоналі трапеції при перетині утворюють два подібні трикутники.
У подібних трикутників відношення відповідних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот, середніх ліній) дорівнює коефіцієнту подібності.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Подібність трикутників застосовується для знаходження середніх пропорційних відрізків у прямокутному трикутнику; через властивість бісектриси кута.

Ознаки подібності прямокутних трикутників
За гострим кутом.Якщо прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні. У прямокутного трикутника один кут прямий, тому для подібності двох прямокутних трикутників досить, щоб у них було по рівному гострому куту.
За двома пропорційними катетами. Якщо катети одного прямокутного трикутника пропорційні катетам другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.
За пропорційними катетом і гіпотенузою. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету і гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.

Зверніть увагу! Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, поділяє його на два трикутники, подібні один одному і подібні даному трикутнику.

Співвідношення в прямокутному трикутнику:
Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом іншим сторонам.
Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним (або середнім геометричним) між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу. Тобто квадрат катета прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію цього катета на гіпотенузу.
Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним (середнім геометричним) між проекціями катетів на гіпотенузу тобто квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Прямокутні трикутники мають властивість, яка сформульована в теоремі Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо у деякому трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник є прямокутним.
У будь-якому прямокутному трикутнику катет менший від гіпотенузи.
Квадрат катета прямокутного трикутника дорівнює різниці квадрата гіпотенузи і квадрата другого катета.

Історичні відомості.
Окремі випадки Теореми Піфагора, зокрема щодо так званих єгипетських, або «священних», трикутників зі сторонами 3, 4 і 5, були відомі ще до Піфагора в Стародавньому Єгипті, у Вавилоні, Індії і Китаї. Можливо, Піфагор першим навів доведення цієї теореми.
Числа, які можуть бути сторонами прямокутного трикутника, тобто зв’язані залежністю, яку виражає теорема Піфагора, називаються числами Піфагора. Найпростішим прикладом таких чисел є 3, 4 і 5, а також трійки чисел, кратних числам цієї трійки, наприклад, 6, 8 і 10 і так далі.
Є нескінченна множина трійок піфагорових чисел. Відповідні їм трикутники називають єгипетськими. Вважають, що єгипетські землеміри будували прямі кути за допомогою мотузки з 12 вузлами на ній, однаково віддаленими один від одного. Мабуть, тому і самих землемірів називали натягувачами мотузок. В окремих випадках таким прийомом користуються і сьогодні.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua