Коло називається описаним навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на колі. Кажуть, що коло є описаним навколо трикутника.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло і лише одне. Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину перпендикулярів, проведених через середини сторін трикутника, тобто точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Зверніть увагу! Щоб знайти центр описаного кола, достатньо провести серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника.

Щоб описати навколо трикутника коло, треба знайти центр кола і радіусом, що дорівнює відстані від центра кола до будь-якої вершини трикутника, побудувати коло.

Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло і лише одне.
Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина його гіпотенузи, а радіус дорівнює її половині.
Якщо одна із сторін уписаного в коло трикутника дорівнює його діаметру, то цей трикутник прямокутний.

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін трикутника. Сторони трикутника є дотичними до вписаного в нього кола.

У будь-який трикутник можна вписати коло і лише одне. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину бісектрис трикутника.

Зверніть увагу! Щоб знайти центр уписаного кола, достатньо провести бісектриси двох кутів трикутника, оскільки всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Щоб вписати коло в трикутник, треба знайти центр кола й опустити з нього перпендикуляр на будь-яку сторону трикутника. Радіусом, що дорівнює довжині перпендикуляра, побудувати коло.

Діаметр кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює різниці суми катетів і гіпотенузи.
У рівностороннього трикутника центри вписаного й описаного кіл збігаються.
У рівнобедреного трикутника центри вписаного й описаного кіл лежать на медіані, проведеній до основи трикутника.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Геометричне місце точок (ГМТ) — це фігура, що складається з усіх точок площини, що мають зазначену властивість.

Для знаходження геометричного місця точок, що мають певну властивість, необхідно довести, що:
– якщо точка належить фігурі, то вона має дану властивість;
– якщо точка площини має дану властивість, то вона належить фігурі.

Основними геометричними місцями є:

Коло — це геометричне місце точок, віддалених від заданої точки на задану відстань.

Бісектриса кута — геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута.

Серединний перпендикуляр до відрізка — це геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, є пряма, перпендикулярна до відрізка, що з’єднує ці точки, і проходить через його середину.

Геометричним місцем точок, віддалених від заданої прямої на задану відстань, є дві прямі, паралельні заданій прямій, які знаходяться на зазначеній відстані від неї.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, паралельна заданим прямим, що проходить через середину їхнього спільного перпендикуляра.

Зверніть увагу!
Сутність метода геометричних місць, який використовується при розв’язанні задач на побудову, полягає ось у чому: якщо треба знайти точку, що задовольняє дві умови, то знаходимо геометричне місце точок, які задовольняють одну умову, а після цього геометричне місце точок, що задовольняє другу умову. Шукана точка є точкою перетину цих геометричних місць точок.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

План розв’язання задач на побудову такий:
1. Аналіз. Проаналізувати умову задачі, побудувавши ескіз фігури із заданими властивостями, і встановити зв’язок між її елементами. Визначити послідовність елементарних побудов.
2. Побудова. Здійснити визначену послідовність елементарних побудов.
3. Доведення. Довести, що побудована фігура має задані властивості.
4. Дослідження. Дослідити, чи завжди можна виконати побудову, та скільки існує розв’язків задачі.

Зверніть увагу!
Елементарними побудовами є:
– проведення прямої за допомогою лінійки без поділок;
– позначення точки;
– проведення кола за допомогою циркуля;
– знаходження точки перетину прямих або кіл.

Задача на побудову трикутника за трьома сторонами
Послідовність елементарних побудов.
На прямій позначити точку. Це одна вершина трикутника. З центром у цій точці провести коло радіусом, що дорівнює одній зі сторін трикутника. На прямій одержимо точку перетину з колом, що буде другою вершиною трикутника.
З центром у першій вершині провести коло радіусом, що дорівнює другій стороні трикутника; з центром у другій вершині провести коло радіусом, що дорівнює третій стороні трикутника. Точка перетину кіл — третя вершина трикутника. З’єднати відрізками три вершини трикутника.

Задача на побудову кута, що дорівнює даному
На сторонах заданого кута обрати дві довільні точки. Розглянути трикутник, вершинами якого буде вершина заданого кута й одержані точки. Побудувати трикутник, рівний розглянутому трикутникe, і продовжити дві його сторони.

Задача на побудову бісектриси даного кута
Послідовність елементарних побудов.
Провести коло довільного радіуса з центром у вершині заданого кута. Позначити точки перетину кола зі сторонами кута. Тим же радіусом провести кола з центрами в позначених точках. Точка перетину кіл лежить на шуканій бісектрисі кута. Провести через неї промінь із вершини заданого кута.

Задача на побудову прямої, перпендикулярної до даної прямої
Обрати на прямій дві довільні різні точки. Виконати побудову точки, що є серединою одержаного відрізка. Пряма, яку одержали при побудові, перпендикулярна до заданої прямої.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua