Пряма, яка перетинає дві задані прямі, називається січною цих прямих.

При перетині прямих січною утворюються такі пари кутів:
– кути, що лежать між прямими і по один бік від січної, називаються внутрішніми односторонніми кутами; маємо дві пари внутрішніх односторонніх кутів;
– кути, що лежать між прямими і по різні боки від січної, називаються внутрішніми різносторонніми кутами; маємо дві пари внутрішніх різносторонніх кутів;
– кути, що лежать по один бік від січної, але один із них лежить між заданими прямими, а інший не лежить між ними, називаються відповідними; маємо чотири пари відповідних кутів.

Запам’ятайте ознаку паралельності прямих: Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусам, то задані прямі паралельні.

Запам’ятайте наслідки ознаки паралельності прямих:
Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.
Прямі є паралельними, якщо при їх перетині січною утворені відповідні кути рівні.

При перетині двох паралельних прямих січною утворюються кути, що мають такі властивості:
– внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній рівні;
– сума двох внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січній дорівнює 180 градусам;
– дві відповідні кути при паралельних прямих і січній рівні.

Зверніть увагу! Якщо пряма перпендикулярна одній паралельній прямій, то вона перпендикулярна й інший.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

В основі науки геометрії лежать твердження, які не потребують доведення. Вони називаються аксіомами.
Аксіоми планіметрії — це основні властивості найпростіших геометричних фігур.

Аксіомами планіметрії є:
1. Для будь-якої прямої існують точки, що належать їй, і точки, що не належать їй.
2. Через будь-які дві різні точки можна провести пряму і лише одну.
3. Із трьох точок на прямій одна і лише одна лежить між двома іншими.
4. Кожний відрізок має певну довжину.
5. Кожний кут має певну градусну міру.
6. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній прямій, і лише одну.

Твердження, які потребують доведення їх істинності за допомогою аксіом або логічних міркувань, називаються теоремами. Наприклад, теоремою є твердження: Внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній рівні.

Найважливіші теореми, за допомогою яких можна перевірити виконання якоїсь властивості, називаються ознаками. Наприклад: Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусам, то задані прямі паралельні.

Історичні відомості.
Слово «аксіома» у перекладі з грецької означає «гідність, повага, авторитет», що в переносному розумінні означає: внаслідок свого авторитету не підлягає сумніву, незаперечне. Уперше цей термін застосував старогрецький філософ Аристотель. Тривалий час математики під аксіомами розуміли ті істини або положення, які внаслідок їх очевидності можна прийняти без доведення. У сучасній математиці терміну «аксіома» надали ширшого значення: аксіома — це одне з вихідних тверджень, які прийнято без доведення і покладено в основу якоїсь теорії.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Однією з ключових фігур у геометрії є трикутник.
Трикутником називається фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з’єднують ці точки.
Точки називаються вершинами трикутника, відрізки — сторонами трикутника. Трикутник має три вершини і три сторони.
Трикутник позначається за назвами його вершин. Трикутник АВС має вершини А, В, С і сторони АС, АС, ВС.

Внутрішні кути трикутника — це кути, утворені його сторонами. Кут А — це кут, утворений сторонами АВ і АС. Проти нього лежить сторона ВС. Кут В — це кут, утворений сторонами ВА і ВС. Проти нього лежить сторона АС. Кут С — це кут, утворений сторонами СА і СВ. Проти нього лежить сторона АВ.

Якщо вершина деякого кута трикутника не належить стороні трикутника, то говорять, що даний кут є протилежним до цієї сторони.
Якщо вершина деякого кута трикутника належить стороні трикутника, то кажуть, що даний кут є прилеглим до цієї сторони.

Сума довжин трикутника називається периметром трикутника.

Якщо пряма, що не проходить через жодну з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін.

Зверніть увагу!
Трикутники і їх теорія мають важливе і теоретичне, і практичне значення.
Завдяки жорсткості трикутників їх форму мають елементи майже кожної будівельної конструкції.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Висота трикутника, опущена з даної вершини, — це перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. У кожному трикутнику можна провести три висоти.
У гострокутному трикутнику всі висоти лежать усередині трикутника.
У тупокутному трикутнику висоти, проведені з вершин гострих кутів, лежать зовні трикутника.
У прямокутному трикутнику висоти, проведені з вершин гострих кутів, збігаються з його сторонами.

Медіана трикутника, проведена з даної вершини, — це відрізок, що з’єднує цю вершину з серединою протилежної сторони.  У кожному трикутнику можна провести три медіани. Медіани будь-якого трикутника перетинаються в одній точці. Медіана ділить сторону трикутника на рівні частини.

Бісектриса трикутника, проведена з даної вершини, – це відрізок бісектриси кута трикутника, що з’єднує цю вершину з точкою на протилежній стороні трикутника. Бісектриса ділить кут трикутника на два рівні кути. У кожному трикутнику можна провести три бісектриси.
У рівнобедреного трикутника висота, медіана і бісектриса, проведені до основи трикутника, збігаються.
У рівносторонньому трикутнику медіани, бісектриси і висоти збігаються.

Це цікаво.
Точка перетину висот трикутника називається його ортоцентром. У гострокутному трикутнику ортоцентр лежить усередині трикутника. У прямокутному — у вершині прямого кута, у тупокутному трикутнику — поза трикутником.
Точка перетину медіан трикутника називається барицентром і є центром ваги трикутника.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Трикутники розрізняють за кутами.

Трикутник, один із кутів якого тупий, називається тупокутним трикутником.
Трикутник, один із кутів якого прямий, називається прямокутним трикутником.
Трикутник, усі з кути якого гострі, називається гострокутним трикутником.

Трикутники розрізняють за сторонами.

Трикутник, усі сторони якого різні, називається різностороннім.
Трикутник, усі сторони якого рівні, називається рівностороннім.
Трикутник, дві сторони якого рівні, називається рівнобедреним.

Рівні сторони трикутника називаються бічними сторонами, а третя сторона — називається основою рівнобедреного трикутника. Вершина кута, що лежить проти основи, називається вершиною рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику кути при основи (прилеглі до основи) рівні. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.

Ознака рівнобедреного трикутника: Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Поради до розв’язування задач.
Якщо в рівносторонньому трикутнику задано довжину сторони, то щоб знайти периметр трикутника, треба помножити довжину сторони на три.
Якщо в рівнобедреному трикутнику задано довжини основи і бічної сторони, то щоб знайти периметр трикутника, треба помножити довжину бічної сторони на два і додати до цього добутку довжину основи трикутника.
Якщо в задачі задано рівносторонній трикутник і його периметр, то щоб знайти довжини його сторін, треба периметр трикутника поділити на три.
Якщо в задачі задано рівнобедрений трикутник, його периметр і довжину основи, то щоб знайти довжину бічної сторони, треба від периметру відняти довжину основи і різницю поділити на два.
Якщо в задачі задано рівнобедрений трикутник, його периметр і довжину бічної сторони, то щоб знайти довжину основи, треба довжину бічної сторони помножити на два і цей добуток відняти від периметру трикутника.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua