Геометрія — розділ математики, який вивчає фігури та їх властивості. Розділ геометрії, який вивчає фігури на площині, називається планіметрією. Основні геометричні фігури планіметрії – це точка і пряма. Усі геометричні фігури складаються з точок. Точки позначаються великими латинськими буквами, а прямі позначаються маленькими латинськими буквами. Пряму можна позначати двома великими латинськими буквами за назвами точок, які належать даній прямій.

Точки і прямі мають такі властивості:
1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
2. Через дві різні точки можна провести пряму і тільки одну.
3. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.

Зверніть увагу!
Якщо дві різні прямі перетинаються, то вони мають одну спільну точку.
Якщо дві прямі мають дві спільні точки, то ці прямі співпадають.
Будь-яка точка прямої розбиває його на два промені (півпрямі).

Промінь — це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать з одного боку від даної її точки. Цю точку називають початком променя. Два променя, які мають спільний початок і утворюють пряму, називаються доповняльними променями.

Історичні відомості.
Походження терміну «геометрія» з’ясував Евдем Родоський (320 рік до нашої ери): «Геометрія була відкрита єгиптянами і виникла у зв’язку з розливами ріки Нілу, які постійно змивали межі. Немає нічого дивного в тому, що ця наука, як і інші, виникла з потреб людини. Усяке знання, що виникає з недосконалого стану, переходить у досконалий». Як у Єгипті, так і у Вавилоні, Китаї, Індії багато геометричних відомостей було добуто в результаті практики будівництва зерносховищ, будинків, іригаційних споруд тощо.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Якщо на прямій відмітити дві різні точки, то вони розіб’ють пряму на три частини, дві з яких – це промені, а та, що знаходиться між променями, називається відрізком.

Відрізок — це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками, які називаються кінцями відрізка. Точки відрізка, які лежать між його кінцями, називаються внутрішніми точками відрізка.

Кожний відрізок має певну довжину, що виражається додатним числом. Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою. Внутрішня точка відрізка, що розбиває його на два рівні відрізки, називається серединою відрізка. На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.

Відстанню між двома точками називається довжина відрізка з кінцями в цих точках.

Запам’ятайте! Рівні відрізки мають рівні довжини. Якщо відрізки мають рівні довжини, то вони рівні. Більший відрізок має більшу довжину. З двох відрізків більшим є той, довжина якого більша.

Це цікаво.
Для вимірювання довжин відрізків у школі найчастіше використовують лінійку зі шкалою. Щоб виміряти довжину відрізка, треба прикласти лінійку до відрізка так, щоб один кінець відрізка сумістився з поділкою шкали, що відповідає нулю, тоді поділка, що буде суміщена з другим кінцем відрізка, вкаже на відповідне значення довжини відрізка.
Довжини великих відрізків, наприклад, на місцевості, вимірюють за допомогою рулетки.
Якщо на місцевості не потрібні точні вимірювання довжин відрізків, можна скористуватись таким методом. Виміряти середню ширину свого кроку і, виміривши довжину відрізка в кроках, помножити довжину одного кроку на їхню кількість.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Кутом називають фігуру, що складається з точки (вершини кута) і двох різних променів (сторін кута), які виходять із цієї точки.

Кут можна позначати однією великою літерою за назвою вершини кута або трьома великими латинськими літерами, одна з яких позначає вершину кута, а дві інші позначають точки, кожна з яких лежить на одній зі сторін кута (зверніть увагу, що буква, яка позначає вершину, записується середньою). Кут можна позначати також двома маленькими латинськими літерами за назвами променів, що є сторонами кута.

Кожен кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Кути виміряються за допомогою транспортира.

Якщо промінь виходить із вершини кута й перетинає який-небудь відрізок із кінцями на сторонах кута, то говорять, що такий промінь проходить між сторонами даного кута. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається променем, що проходить між його сторонами. Два кути називаються рівними, якщо вони мають однакову градусну міру.

Розгорнутим називається кут, сторони якого є доповняльними променями. Градусна міра розгорнутого кута 180 градусів. Кут, який має градусну міру 90 градусів, називається прямим кутом. Кут, градусна міра якого менша від 90 градусів, називається гострим кутом. Кут, градусна міра якого більша за 90 градусів, але менша від 180 градусів, називається тупим кутом.

Зверніть увагу!
Від будь-якого променя в одну сторону від нього можна відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою від 180°, і тільки один.

Бісектриса кута – це промінь, що виходить із вершини кута, проходить між його сторонами й ділить кут на два рівні кути.

Запам’ятайте! Рівні кути мають рівні градусні міри. Якщо два кути мають рівні градусні міри, то ці кути рівні. Більший кут має більшу градусну міру. З двох кутів більший той кут, градусна міра якого більша.

Це цікаво.
Кут у 30° можна побачити на механічному годиннику — це кут між годинною і хвилинною стрілками, наприклад, о 12 годині 5 хвилин.
Кут у 60° можна побачити в рівносторонньому трикутнику — кожен кут такого трикутника має градусну міру 60°.
Кут у 90° можна побачити у приміщеннях, наприклад, кут між стіною і підлогою.
Кут у 120° можна побачити у структурі бджолиних сот.
Кут у 360° проходить годинна стрілка за 1 годину.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Суміжними називаються два кути, одна сторона яких спільна, а дві інші утворюють пряму, тобто є доповняльними променями. Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусам.

Два суміжних кути утворюють розгорнутий кут.

Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні.

Кут, суміжний із прямим кутом, є прямим.
Кут, суміжний з гострим кутом, є тупим.
Кут, суміжний з тупим кутом, є гострим.

Будь-який промінь, що виходить із вершини розгорнутого кута і проходить між його сторонами, поділяє його на два суміжні кути. Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні. Два кути, суміжні з одним і тим же кутом, рівні. Якщо два суміжні кути рівні, то вони прямі.

Вертикальними називаються два кути, сторони одного з яких є додатковими променями до сторін другого кута. Вертикальні кути рівні.

При перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних кутів.

Якщо відомий один із кутів, що утворились при перетині двох прямих, то знайти інші кути можна таким чином: знайти кут, суміжний з даним, враховуючи, що їх сума 180 градусів, після чого знайти кути, вертикальні з відомими, враховуючи, що вертикальні кути рівні.

Запам’ятайте поняття про теорему, аксіому та доведення.
Доведення — міркування про правильність твердження про властивість тієї або іншої геометричної фігури.
Теорема — твердження, яке треба довести.
Аксіома — твердження, що не потребують доведення, і які містяться у формулюваннях основних властивостей найпростіших фігур.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Дві прямі на площині або перетинаються, або паралельні.

Дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Два відрізка називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині пряму, паралельну до даної, і тільки одну. Це твердження є основною властивістю паралельних прямих.

Дві прямі, кожна з яких паралельна третій прямій, паралельні між собою.
Якщо пряма перетинає одну з паралельних прямих, то вона перетинає і другу пряму.

Менший із кутів, що утворюються при перетині двох прямих на площині, називається кутом між прямими.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Через точку, що не належить прямій, можна провести пряму, перпендикулярну даній прямій, і тільки одну.

Відрізки або промені, які лежать на перпендикулярних прямих, називаються перпендикулярними.

Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярний до даної, який має одним зі своїх кінців точку перетину прямої і відрізка. При цьому кінець відрізка, який лежить на прямій, називається основою перпендикуляра.

Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму й тільки одну. З будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр і тільки один.

Довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму, називається відстанню від точки до прямої.

Відстань від будь-якої точки однієї з паралельних прямих до другої прямої називається відстанню між паралельними прямими.

Це цікаво.
Як побудувати пряму, перпендикулярну до заданої прямої? Це роблять за допомогою кутника. Кожний креслярський кутник має прямий кут. Сумістимо одну зі сторін прямого кута креслярського кутника з заданою прямою, а вздовж другої сторони прямого кута проведемо пряму. Ця пряма буде перпендикулярною до заданої прямої.

Доведення від протилежного
Спочатку робимо припущення, протилежне до того, що стверджується теоремою. Потім шляхом міркувань доходимо висновку, який суперечить або умові даної теореми, або раніше доведеної, або однієї з аксіом. На цій основі робимо висновок, що зроблене нами припущення неправильне, а отже, правильним є твердження теореми.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua