Корінь квадратний із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів квадратних із цих множників: . Добуток коренів квадратних із невід’ємних чисел дорівнює кореню квадратному з добутку підкореневих виразів.

Корінь квадратний із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню квадратному з чисельника дробу, поділеному на корінь квадратний зі знаменника дробу: . Частка коренів квадратних із додатних чисел дорівнює кореню квадратному з частки підкореневих виразів.

Корінь квадратний зі степеня невід’ємного числа дорівнює степеню цього числа з показником, удвічі меншим за даний: . N-ий степінь кореня квадратного з числа a дорівнює кореню квадратному з n-ого степеня підкореневого виразу: .

Корінь із квадрата будь-якого числа дорівнює модулю цього числа: .

Модуль будь-якого виразу дорівнює кореню квадратному з квадрата цього виразу.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

1) Винесення множника з-під знака кореня
Якщо задано квадратний корінь із добутку, що містить множники, які є парними степенями змінних, то такі множники можна виносити з-під знака кореня. При цьому одержимо добуток модуля цього множника у степені, удвічі меншому за даний, на корінь квадратний із множників із непарними показниками степеня.

Якщо показник степеня деякого множника непарний, але більший за три, то його можна розкласти на множники, які є степенями з тією ж основою і показниками, що в сумі дорівнюють заданому показнику степеня.

Зверніть увагу!
Треба слідкувати, щоб вираз, який залишається під коренем, був невід’ємним.

2) Внесення множника під знак кореня
Якщо дано вираз, що є добутком множників, деякі з яких не знаходяться під коренем квадратним, то такі множники можна внести під знак кореня множником, степінь якого буде вдвічі більшим за даний.

3) Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу
Щоб звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу, треба чисельник і знаменник помножити на вираз, спряжений зі знаменником. При цьому враховуйте, що:
– для кореня квадратного з числа a спряженим буде корінь квадратний із числа a;
– для суми коренів квадратних із чисел a і b спряженим буде різниця коренів квадратних із чисел a і b ;
– для різниці коренів квадратних із чисел a і b спряженим буде сума коренів квадратнихі з чисел a і b .

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Область визначення функції є множина всіх невід’ємних чисел x. Область значень функції — множина всіх невід’ємних чисел у.

Графік лежить лише в першій координатній чверті. Для нульового значення змінної х значення функції у дорівнює нулю. Графік проходить через початок координат.

На всій області визначення функція є зростаючою. Ця властивість використовується при порівнянні квадратних коренів із чисел. Більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Корінь квадратний із більшого числа є більшим, і, навпаки, корінь квадратний із меншого числа є меншим.

Наприклад, щоб порівняти і , треба порівняти підкореневі вирази. Оскільки 2 < 3, то корінь квадратний із двох менший від кореня квадратного з трьох: < .

Якщо необхідно порівняти і , спочатку порівнюють і . Відомо, що з двох від’ємних чисел більше те, модуль якого менший. Тоді більший від : > .

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Квадратним називається рівняння вигляду ax² + bx + c, де х — змінна, а, b і c — деякі числа-коефіцієнти, при цьому a ≠ 0. Ліва частина такого рівняння містить многочлен, який називається квадратним тричленом.

Коефіцієнт a при x² називається першим коефіцієнтом; коефіцієнт b при x називається другим коефіцієнтом; число c називається вільним членом.

Квадратне рівняння називається зведеним, якщо перший коефіцієнт його дорівнює одиниці. Будь-яке квадратне рівняння можна привести, поділивши його ліву і праву частини на перший коефіцієнт.

Якщо у квадратного рівняння другий коефіцієнт або вільний член дорівнюють нулю, то рівняння стає неповним.

Якщо і другий коефіцієнт, і вільний член дорівнюють нулю, отримаємо рівняння вигляду ax² = 0. Воно має один корінь, який дорівнює нулю.

Якщо вільний член дорівнює нулю, а другий коефіцієнт нулю не дорівнює, отримаємо рівняння вигляду ax² + bx = 0. Для його розв’язання виносимо за дужки x, тоді хоча б один із множників — x або той, що залишився в дужках ax + b — дорівнює нулю. Рівняння має два корені: x = 0  або .

Якщо другий коефіцієнт дорівнює нулю, а вільний член не дорівнює нулю, отримаємо рівняння вигляду ax² + c = 0. Перенесемо вільний член до правої частини рівняння і поділимо на перший коефіцієнт. Одержимо рівняння . Таке рівняння не має коренів, якщо його права частина від’ємна, тобто якщо перший коефіцієнт і вільний член мають однакові знаки. Якщо права частина одержаного рівняння невід’ємна, тобто перший коефіцієнт і вільний член мають різні знаки, то рівняння має два корені: .

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Дискримінантом квадратного рівняння називається вираз, що дорівнює різниці квадрата другого коефіцієнта і добутку першого коефіцієнта та вільного члена, помноженого на чотири. Дискримінант позначається великою латинською буквою D : D = b² – 4ac.

Корені повного квадратного рівняння знаходять за формулою
.

Якщо дискримінант квадратного рівняння додатний, то рівняння має два корені.

Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то рівняння має один корінь, який дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком і поділеному на подвоєний перший коефіцієнт:
.

Якщо дискримінант квадратного рівняння від’ємний, то рівняння не має коренів.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua