В алгебрі мають справу не тільки з числовими виразами, а й із виразами, що містять і числа, і букви. Ці вирази поділяються на цілі та дробові.

Цілими називаються вирази, які містять числа, змінні, дії їх додавання, віднімання, множення та ділення на число, відмінне від нуля.

Дробовими називаються вирази, які містять числа, змінні, дії їх додавання, віднімання, множення та ділення на змінну.

Дріб, у чисельнику і знаменнику якого містяться многочлени, називається раціональним дробом.

Цілі вирази й раціональні дроби називаються раціональними виразами. Для таких виразів постає питання про їхню область допустимих значень.

Областю допустимих значень змінної (ОДЗ) називаються ті значення змінної, при яких вираз має смисл.

Область допустимих значень цілого виразу — множина всіх дійсних чисел.
Область допустимих значень раціонального дробу — множина всіх дійсних чисел, окрім тих, при яких знаменник дорівнює нулю. Наприклад, вираз при х = –1  втрачає смисл. Тоді область допустимих значень цього виразу — це множина всіх дійсних чисел, окрім –1.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Щоб виконувати рівносильні перетворення виразів, уведемо поняття тотожності.

Тотожністю називається рівність, яка є правильною для всіх значень змінної, що входять до неї.

Вирази називаються тотожно рівними, якщо вони набувають рівних значень для всіх допустимих значень змінних, що містять вирази.

При перетворенні дробових виразів часто доводиться користуватись основною властивістю дробу.

Основна властивість дробу
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, що не дорівнює нулю, то одержимо дріб, тотожно рівний даному дробу. Наприклад, дріб тотожно рівний дробу , де а ≠ 0.

Основна властивість дробу дозволяє скорочувати дроби. Для цього визначають найбільший спільний множник чисельника і знаменника і скорочують дріб на цей вираз. Наприклад, дріб .

Якщо змінити знак чисельника на протилежний, то знак дробу зміниться на протилежний.
Якщо змінити знак знаменника на протилежний, то знак дробу зміниться на протилежний.
Якщо змінити і знак чисельника, і знак знаменника на протилежний, то знак дробу не зміниться.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

1) Додавання й віднімання дробових виразів
Щоб додати або відняти дробові вирази з однаковими знаменниками, треба додати або відняти їхні чисельники, а знаменник залишити той самий.
Щоб додати або відняти дробові вирази з різними знаменниками, треба звести їх до найменшого спільного знаменника, після чого додати або відняти чисельники одержаних дробових виразів, а знаменник залишити той самий.

Запам’ятайте!
Щоб звести дробові вирази до найменшого спільного знаменника, треба:
– розкласти знаменники на множники;
– скоротити дані дроби, якщо це можливо;
– обрати в найменший спільний знаменник найменше спільне кратне числових коефіцієнтів і кожен множник зі змінною, що є в знаменниках дробів, узятих у найбільшому степені;
– знайти доповняльні множники для кожного дробового виразу і помножити на них чисельники та знаменники дробів.

2) Множення дробових виразів
Щоб помножити дробові вирази, треба перемножити і їхні чисельники, і їхні знаменники. Перший добуток записати в чисельник добутку, а другий — у знаменник добутку.

3) Ділення дробових виразів
Щоб поділити дробові вирази, треба помножити ділене на дріб, обернений до дільника.

4) Піднесення до степеня дробового виразу
Щоб піднести дробовий вираз до степеня, треба піднести до цього степеня і чисельник, і знаменник. Перший степінь записати в чисельник, а другий — у знаменник.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Тотожними перетвореннями раціональних виразів є перетворення, за допомогою яких можна замінити даний вираз на тотожно рівний йому вираз.

До таких перетворень відносяться скорочення дробів, зведення їх до нового знаменника, арифметичні дії над раціональними виразами. Будь-який раціональний вираз можна подати у вигляді дробу, а деякі навіть у вигляді цілого виразу.

Розглянемо скорочення дробових виразів. Часто буває можливим спростити алгебраїчний дріб скороченням спільних множників чисельника і знаменника. У випадку, коли чисельник і знаменник дробу є многочленами, для скорочення дробів треба розкласти чисельник і знаменник на множники. Якщо чисельник і знаменник мають спільні множники, то їх можна скоротити. Якщо спільних множників немає, то спрощення дробового виразу за допомогою скорочення неможливе.

Якщо чисельник і знаменник раціонального дробу є многочленами з дробовими коефіцієнтами, то для спрощення доцільно помножити чисельник і знаменник на спільний знаменник усіх коефіцієнтів. Це можна зробити на підставі основної властивості дробу.

Ланцюжок тотожних перетворень раціональних виразів називається алгебраїчною викладкою. Алгебраїчні викладки можуть бути проведені в різних напрямках: можна розкривати дужки або, навпаки, проводити винесення за дужки тощо. Окрім того, що ці викладки мають проводитися правильно, вони повинні бути доцільними.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Раціональним називається рівняння, у якому ліва і права частини є раціональними виразами.

Дробовим називається таке раціональне рівняння, у якому ліва і права чистини є дробовими виразами.

Основний спосіб розв’язування дробових рівнянь зводиться до заміни його рівносильними перетвореннями до такого вигляду: ліва частина рівняння — це дробовий вираз, а права частина — нуль.

Одержане рівняння розв’язуємо, враховуючи, що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Тобто для розв’язання зведеного до такого виду рівняння прирівнюємо чисельник до нуля і знаходимо корені. Після цього виконуємо перевірку умови нерівності знаменника нулю. Якщо при знайденому значенні змінної знаменник дорівнює нулю, то це число не є коренем рівняння. Говорять, що такий корінь — сторонній.

Зверніть увагу!
1) Додавання до обох частин рівняння виразів, які містять змінну в знаменнику, може привести до втрати коренів або появи сторонніх коренів.
2) Множення обох частин рівняння на многочлен може привести до появи сторонніх коренів.
3) Ділення обох частин рівняння на многочлен може привести до втрати коренів.

Ці перетворення не є рівносильними, тому їх не можна використовувати при розв’язанні раціональних рівнянь.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua