Рівняння виду ах + bу = с, де а, b і с — деякі числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними х і у. Якщо коефіцієнти при змінних х і у не дорівнюють нуль, то таке рівняння називають рівнянням першого степеня з двома змінними.

Розв’язком рівняння з двома змінними називається пара чисел х і у, при яких рівняння перетворюється в правильну рівність. Розв’язок записують у дужках парою чисел. На першому місці пишуть значення х, на другому – значення у.

Кожне рівняння першого степеня з двома змінними має безліч розв’язків.

Щоб розв’язати рівняння з двома змінними, обирають довільне значення однієї змінної, підставляють його замість цієї змінної у рівняння і розв’язують одержане рівняння відносно другої змінної.

Рівносильними називаються рівняння, що мають одні й ті ж рішення або їх не мають.

Графіком кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма.

Якщо а, b і с не дорівнюють нулю, то пряма проходить під кутом до координатних осей і перетинає їх у двох точках.

Якщо права частина лінійного рівняння з двома змінними дорівнює нулю, то пряма проходить через початок координат під кутом до координатних осей.

Якщо коефіцієнт при змінній х = 0, а інші не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі х.

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі у.

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю абсцис.

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при х, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю ординат.

Якщо всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то графіком будуть усі точки координатної прямої.

Якщо всі коефіцієнти, окрім вільного члена, дорівнюють нулю, то не одержимо жодної точки.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Важливу роль у математиці й інших науках відіграють системи рівнянь першого степеня (лінійних рівнянь).

Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називається пара значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи в правильну числову рівність.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти спільні рішення рівнянь.

Рівносильними називаються системи рівнянь з двома змінними, які мають одні й ті ж розв’язки. Системи, які не мають розв’язків, також вважаються рівносильними.

Зверніть увагу!
Система двох рівнянь з двома змінними або не має розв’язків, або має один розв’язок, або має безліч розв’язків.
Якщо до системи входять рівняння, які мають однакові ліві частини, але різні праві частини, така система розв’язків не має.
Якщо до системи входять рівняння, які можна привести рівносильними перетвореннями одне до одного, то така система рівнянь має безліч розв’язків.

Для розв’язання систем рівнянь існують графічний спосіб,  метод підстановки, метод додавання.

Графічний спосіб розв’язування системи рівнянь з двома змінними має таку схему:
Будують графік кожного рівняння, що входить до системи. Знаходять координати точок перетину графіків (якщо вони є). Відповідь записують у вигляді координат знайдених точок.

Зверніть увагу! Графічний спосіб нерідко дає наближені значення. Тому краще перевіряти їх підстановкою.

Спосіб підстановки має таку схему:
Представляють одну змінну через другу в одному рівнянні. Цей вираз і називають підстановкою. Одержаний вираз підставляють замість цієї змінної в друге рівняння.
Розв’язують одержане рівняння з однією змінною. Знаходять відповідне значення другої змінної, використовуючи підстановку. Записують відповідь парою чисел.

Спосіб додавання має таку схему:
Множать обидві частини кожного рівняння на таке число, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами. Додають почленно одержані рівносильні даним рівняння. Розв’язують одержане рівняння з однією змінною. Знаходять відповідне значення другої змінної, підставляючи вже відому в будь-яке з даних рівнянь. Записують відповідь парою чисел.
Звертайте увагу на порядок запису: на першому місці – х, на другому – у.

Цікаво знати.
Систему лінійних рівнянь, яка має єдиний розв’язок, називають означеною, а якщо більше одного, то неозначеною.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Щоб розв’язати задачу складанням системи рівнянь, необхідно:

- Позначити дві невідомі величини буквами.

- Скласти буквені вирази за умовою задачі. За допомогою буквених виразів скласти систему двох рівнянь. Розв’язати систему рівнянь.

Надати величинам знайдених значень, перевірити відповідність умові задачі.

Записати у відповідь значення величин, про які йшлося в умові задачі.

Розв’яжемо задачу. Микола і Василь купували однакові зошити й олівці. Микола купив 15 зошитів і 3 олівці, заплативши за покупку 15 гривень. А Василь купив 20 зошитів і 5 олівців, заплативши за покупку 20 гривень 50 копійок. Скільки коштує один зошит та один олівець?

Розв’язання. Оскільки хлопці купували однакові зошити й олівці, можна позначити ціну зошита за х гривень, а ціну олівця — за у гривень. Тоді за 15 зошитів Микола заплатив 15х, а за 3 олівці – 3у. А вся покупка коштує 15х + 3у, що дорівнює 15.

Аналогічно визначаємо, що Василь заплатив за всю покупку 20х + 5у, що дорівнює 20,5. Складемо систему цих рівнянь і розв’яжемо її. Знайдемо значення х — 0,9, а у — 0,5.

Враховуючи, що за х позначали ціну зошита, робимо висновок, що зошит коштує 90 копійок.

Враховуючи, що за у позначали ціну олівця, робимо висновок, що олівець коштує 50 копійок.

Зверніть увагу!

Перед тим, як записати відповідь, необхідно зробити перевірку, чи мають смисл знайдені значення величин і чи справджується умова задачі при цих значеннях величин.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua