Рівнянням називається рівність, яка містить невідоме, позначене буквою.

Невідоме називають змінною.

Вираз, який записано зліва від знака =, становить ліву частину рівняння.

Вираз, який записано правіше від знака =, становить праву частину рівняння.

Кожний доданок, що міститься в лівій або правій частині рівняння, називається членом рівняння.

Коренем рівняння називається значення змінної, при якому рівняння стає правильною числовою рівністю. Корені рівняння також називають його розв’язками.

Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що коренів рівняння не має.

Нагадаємо, як розв’язують найпростіші рівняння.

Щоб знайти невідомий доданок, необхідно від суми відняти відомий доданок.
Щоб знайти невідоме зменшуване, необхідно до різниці додати від’ємник.
Щоб знайти невідомий від’ємник, необхідно від зменшуваного відняти різницю.
Щоб знайти невідомий множник, необхідно добуток поділити на відомий множник.
Щоб знайти невідоме ділене, необхідно частку помножити на дільник.
Щоб знайти невідомий дільник, необхідно ділене поділити на частку.

Рівняння є засобом запису умови задачі, воно містить у своєму складі невідомі величини (одну або декілька), значення яких треба знайти. Рівняння також є засобом подання та вивчення залежності між двома або кількома змінними величинами.

Лінійними рівняннями з однією змінною називаються рівняння виду ах = b, тобто рівняння, в лівій частині яких міститься добуток змінної і деякого числа, яке називається коефіцієнтом при змінній, а в правій частині – число, яке називають вільним членом рівняння.

Якщо коефіцієнт при змінній ≠ нулю, то рівняння має один корінь. Для його знаходження необхідно вільний член поділити на коефіцієнт при змінній.

Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, і вільний член дорівнює нулю, то рівняння має безліч коренів. Коренем такого числа буде будь-яке число.

Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, а вільний член не дорівнює нулю, то рівняння не має коренів. Кажуть, що змінна належить порожній множині.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Рівняння, які мають однакові корені або взагалі не мають коренів, називаються рівносильними рівняннями.

Два рівняння рівносильні, якщо вони мають одні й ті ж корені або їх не мають.

Щоб розв’язувати складніші рівняння, треба замінювати їх рівносильними рівняннями і зводити до найпростіших рівнянь.

Щоб перетворення були рівносильними, треба використовувати основні властивості рівнянь:
– у будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки, якщо вони є.
– будь-який член рівняння можна перенести в іншу частину рівняння, змінивши його знак на протилежний.
– обидві частині рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.
– до обох частин рівняння можна додати (відняти) одне й те саме число.

Щоб розв’язати лінійне рівняння, скористаємось таким планом розв’язку за допомогою рівносильних перетворень:
– якщо у членів рівняння є знаменники, то позбудемось них, помноживши обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник.
– розкриємо всі дужки.
– згрупуємо члени рівняння так, щоб члени зі змінною були в одній частині рівняння, а без змінної – в іншій.
– зведемо подібні доданки в кожній частині рівняння.
– розв’яжемо отримане рівняння вигляду ax = b

Зверніть увагу!
У дробах позбуватись знаменника, який містить змінну, не можна.

Застосування нерівносильних перетворень приводить до втрати розв’язків або до появи сторонніх коренів.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

При розв’язанні задач за допомогою рівнянь діють за таким планом:
1. Позначають деяку невідому величину буквою.
2. Складають буквений вираз за умовою задачі.
3. Складають рівняння на основі буквеного виразу й умов задачі.
4. Розв’язують одержане рівняння. Надають величині, яку позначали буквою, знайденого значення.
5. Перевіряють результат на відповідність умовам задачі.
6. Записують відповідь щодо шуканих величин.

 Звичайно в задачах йдеться не про математичні об’єкти. Такі задачі називають прикладними. Тоді складають математичну модель задачі, в якій ідеться про математичні поняття.

Розв’язання прикладних задач методом математичного моделювання складається з трьох етапів:
1. Формування математичної моделі задачі.
2. Розв’язання відповідної математичної задачі.
3. Аналіз одержаних результатів.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Математичні вирази, до складу яких входять числа, знаки дій і дужки, називаються числовими виразами. Значенням числового виразу називається число, яке одержуємо за результатами виконання всіх дій у заданому числовому виразі.

Зверніть увагу! Вираз, який містить ділення на нуль, неможливий.

Числова рівність – це вираз, який складається з числових виразів, між якими стоїть знак =. Якщо числові значення лівої і правої частин числової рівності співпадають, таку числову рівність називають правильною.

Вирази, які обов’язково містять букви, можливо числа, знаки дій, дужки, називають буквеними виразами або виразами із змінними.

Якщо вираз містить лише дії додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня і ділення, то такий вираз називається раціональним.

Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз із змінною, називається цілим виразом.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua

Два вирази, відповідні значення яких рівні для будь-яких можливих значень змінної, називаються тотожно рівними, або тотожними.

Заміна одного виразу тотожно рівним йому виразом називається тотожним перетворенням.

До тотожних перетворень належать такі:

- Зведення подібних доданків;

- Розкриття дужок, перед якими стоять знаки + або мінус та інші.

Тотожністю називається рівність, правильна для всіх можливих значеннях змінної.

Тотожностями є рівності аb = bа, а + b = b + а та інші.

Тотожності, що містять змінні, потребують доведення.

Щоб довести тотожність, одну з його частин (ліву чи праву) шляхом рівносильних перетворень зводять до другої частини.

У більш складних випадках і ліву, і праву частини зводять до однакових виразів. Після чого роблять висновок, що тотожність доведена, оскільки вирази рівні незалежно від значень змінної.

Матеріал з сайту: http://shkolyar.in.ua